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RELATIONS CONCERNANT UNE SEULE POSITION DANS L’ORBITE.
II. La méthode suivante est plus courte, surtout si l’on doit calculer plusieurs positions pour lesquelles il suffit de calculer, une fois
seulement, les logarithmes des quantités constantes
D’après les équations V et VI, on a :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\frac {1}{2}}v{\sqrt {\overset {}{r}}}&=\sin {\frac {1}{2}}\mathrm {E} {\sqrt {a(1+e)}}\\\cos {\frac {1}{2}}v{\sqrt {\overset {}{r}}}&=\cos {\frac {1}{2}}\mathrm {E} {\sqrt {a(1-e)}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecd9f85d84372853b5fcf72750095aa41bf48bd6)
d’où l’on obtient immédiatement
et
.
Toutes les fois, en général, qu’on a
,
, on trouve
assurément
par la formule
et ensuite
par la relation
ou par
; on doit préférer la première quand
est plus grand que
, et la seconde quand
est plus
grand que
.
Le plus souvent, les problèmes dans lesquels on parvient à de
semblables équations (ils se présentent fréquemment dans cet ouvrage), impliquent la condition que
doit être une quantité positive ;
de là naît immédiatement le doute de savoir s’il faut prendre
entre
0 et 180° ou entre 180° et 360°. Mais si une telle condition n’existe
pas, cette détermination est laissée à notre choix.
Dans notre exemple, nous avons
0,2453162.
![{\displaystyle \log \sin {\tfrac {1}{2}}\mathrm {E} .......}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38147e0ddafc360c1d2fa5fc58517a81b3d3584e) |
9,4867632 |
|
![{\displaystyle \log \cos {\tfrac {1}{2}}\mathrm {E} .......}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13ab09930fd258ea868de6cf6ff9a71d038cf609) |
9,9785434
|
![{\displaystyle \log {\sqrt {a(1+e)}}....}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/373ed209bda9457f560273158568d52099ea1950) |
0,2588593 |
|
![{\displaystyle \log {\sqrt {a(1-e)}}....}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a96ba6ab071adf83ce035ad699e655e9dc9af789) |
0,1501020
|
De là
![{\displaystyle \log \sin {\tfrac {1}{2}}v{\sqrt {\overset {}{r}}}....}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5945c5cc4129cd9b3d2b07eac8cc3a2f39492fbe) |
9,7456225
|
|
d’où ![{\displaystyle \log \operatorname {tang} {\tfrac {1}{2}}v=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1946249aece1167420cbbdd2a6b9757bfa88b4b) |
9,6169771
|
![{\displaystyle \log \cos {\tfrac {1}{2}}v{\sqrt {\overset {}{r}}}....}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94d3438f3a8821ca43f8d6e8296a248d501bb0d6) |
0,1286454
|
![{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}v=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6cd1c344d9a512a5a14f9cae6f89ef46a494a0a) |
157° 30′ 41,5″
|
![{\displaystyle \log \cos {\tfrac {1}{2}}v.......}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73653346b6b151838ec530a350b45a372c664454) |
9,9656515 ![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b) |
|
![{\displaystyle v=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cec2813b519db43226327ecde695f3eb0b1f34aa) |
315° 01′ 23″
|
![{\displaystyle \log {\sqrt {\overset {}{r}}}..........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c9f2923f71d86d107ec15ae99160e0a9521d92c) |
0,1629939
|
![{\displaystyle \log {r}...........}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6197b3ba7d42345c948df0d6fdaebf4bc768e801) |
0,3259878.
|
III. À ces méthodes nous ajoutons une troisième qui également est
presque aussi prompte que la seconde, mais qui, le plus souvent,