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NOTE IX.
des équinoxes. Joignons
(
étant la projection sur l’écliptique
du point
), joignons aussi
et
On peut considérer
comme la résultante des deux lignes
et
en projetant ce système sur la ligne
on aura
![{\displaystyle a\mathrm {S} .\cos a\mathrm {SH} =\mathrm {R} '\cos(\mathrm {L} '-\mathrm {N} )+\delta \cos \beta \cos(\lambda -\mathrm {N} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aecd87d7937190cea917931d59e85d5a7d9807ab)
En considérant
comme la résultante des deux lignes
et
on
aura, en projetant ce système sur la ligne ![{\displaystyle \mathrm {SH} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f74412b7307848e0eeff083b693fce0fdfb1bc4)
![{\displaystyle a\mathrm {S} .\cos a\mathrm {SH} =\mathrm {R} \cos \mathrm {B} \cos(\mathrm {L} -\mathrm {N} )+\pi \cos b\cos(l-\mathrm {N} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3df6b5b786d32b502dbd0ac4548bd2ee125a9eba)
d’où
![{\displaystyle \mathrm {R} '\!\cos(\mathrm {L} '\!\!-\!\mathrm {N} )+\delta \cos \beta \cos(\lambda \!-\!\mathrm {N} )=\mathrm {R} \cos \mathrm {B} \cos(\mathrm {L} \!-\!\mathrm {N} )+\pi \cos b\cos(l\!-\!\mathrm {N} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5029b67169936ea140f8b477555646e7b0f3e41)
Si l’on fait les mêmes projections sur une perpendiculaire à
on
aura
![{\displaystyle \mathrm {R} '\!\sin(\mathrm {L} '\!\!-\!\mathrm {N} )+\delta \cos \beta \sin(\lambda \!-\!\mathrm {N} )=\mathrm {R} \cos \mathrm {B} \sin(\mathrm {L} \!-\!\mathrm {N} )+\pi \cos b\sin(l\!-\!\mathrm {N} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6be1eb92e68bb16c102e788f8c0c716e36115ca)
On trouve enfin, en menant
parallèle à ![{\displaystyle ta,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a451f12749d489ff9e7a61184a817e86d39ab0f)
![{\displaystyle \mathrm {A} a=\mathrm {A} i+ia,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a100ee7e0e7d0797bd5f76a2a1dfb73fa562c8a1)
d’où
![{\displaystyle \delta \sin \beta =\pi \sin b+\mathrm {R} \sin \mathrm {B} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06deaa2fbdad6859becc708022a6958e71f2bffe)
Note IX (art. 90 et 100).
Gauss a donné dans le Berliner Astronomische Jahrbuch de 1814,
une autre méthode pour calculer
et
On a, dans l’art. 90,
![{\displaystyle \xi =x-{\frac {5}{6}}+{\frac {10}{9\mathrm {X} }}={\frac {x\mathrm {X} -{\dfrac {5}{6}}\mathrm {X} +{\dfrac {10}{9}}}{\mathrm {X} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ac6191cd6f2855f8123ecccfd604087599a32be)
Si l’on substitue, dans le numérateur de cette fraction, à la place
de
la série
![{\displaystyle \mathrm {X} ={\frac {4}{3}}+{\frac {4.6}{3.5}}x+{\frac {4.6.8}{3.5.7}}x^{2}+{\frac {4.6.8.10}{3.5.7.9}}x^{3}+\ldots \mathrm {etc.} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d9d4bf711975ee63b2786f7f30ae5e3f8699d7e)
on obtient
![{\displaystyle x\mathrm {X} -{\frac {5}{6}}\mathrm {X} +{\frac {10}{9}}={\frac {8}{105}}x^{2}\left(1+{\frac {2.8}{9}}x+{\frac {3.8.10}{9.11}}x^{2}+{\frac {4.8.10.12}{9.11.13}}x^{3}+\mathrm {etc.} \!\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b53161a25aedd9d91ddd1e6c0e8fb6609f47aa7)