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RELATIONS ENTRE PLUSIEURS POSITIONS DANS L’ORBITE.
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dans laquelle, le signe à prendre est déterminé de la même manière
que précédemment.
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Un double travail se présente maintenant à nous : premièrement,
que de l’équation transcendante [12], puisqu’elle n’admet pas de
solution directe, nous déterminions l’inconnue
le plus commodément ; secondement, que de l’angle
trouvé nous déduisions les éléments eux-mêmes. Avant d’entreprendre ces questions, effectuons
une transformation particulière au moyen de laquelle le calcul des
quantités auxiliaires
ou
est promptement achevé, et en outre
plusieurs formules développées plus loin sont réduites à une forme
plus élégante.
En introduisant en effet l’angle auxiliaire
devant être déterminé
par la relation
![{\displaystyle {\sqrt[{4}]{\frac {r'}{r}}}=\operatorname {tang} (45^{\circ }\!+\omega ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2265cc8f505f732268fd1a41e83695852fa2cfa)
il vient
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {\frac {r'}{r}}}+{\sqrt {\frac {r}{r'}}}&=2+\left[\operatorname {tang} (45^{\circ }\!+\omega )-\operatorname {cotang} (45^{\circ }\!+\omega )\right]^{2}\\&=2+4\operatorname {tang} ^{2}{2\omega }\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e48a00c07321f288ecbd455f0a5decf3bcc193a4)
d’où l’on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}l&={\frac {\sin ^{2}{\dfrac {1}{2}}f}{\cos f}}+{\frac {\operatorname {tang} ^{2}2\omega }{\cos f}}&\mathrm {L} &=-{\frac {\sin ^{2}{\dfrac {1}{2}}f}{\cos f}}-{\frac {\operatorname {tang} ^{2}2\omega }{\cos f}}\end{aligned}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0f23576b2362542fcd03ae905a3589da4a6491b)
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Nous considérerons d’abord le cas où, par la résolution de l’équation [12], on obtient pour
une valeur qui n’est pas trop grande, de
telle sorte que
puisse être développé en série suivant les