Il ne peut exister ici d’ambiguïté dans la détermination de et parce que et doivent être nécessairement des quantités positives. Le calcul entier pourra, si l’on veut, être confirmé par l’équation VII.
Il existe cependant deux cas où il faut suivre une autre méthode. Toutes les fois, en effet, que le point coïncide avec ou lui est diamétralement opposé sur la sphère, ou bien lorsque ou les équations VI et IX doivent nécessairement être identiques, et l’on aurait et par suite, indéterminé. Dans ce cas, et seront déterminés de la manière que nous l’avons enseignée, mais ensuite il faudra obtenir et par la combinaison de l’équation VII avec VI ou IX. Nous nous dispensons d’écrire ici les formules mêmes, que l’on peut tirer de l’art. 78 ; nous observons simplement, que dans le cas aussi où n’est pas réellement égal à 0 ni à 180°, mais est, cependant, un arc très-petit, il est préférable de suivre la même méthode, puisque la première méthode n’admettrait pas alors une précision suffisante. Et l’on adoptera même la combinaison de l’équation VII avec VI, ou avec IX, selon que est plus grand ou plus petit que
De même, dans le cas où le point ou son opposé, coïncide avec ou en est peu écarté, la détermination de et par la méthode précédente serait ou impossible ou peu sûre. C’est pourquoi et seront alors déterminés par cette méthode, mais ensuite et le seront par la combinaison de l’équation VII avec V ou avec VIII, suivant que est plus grand ou plus petit que Au reste, on ne doit pas craindre que le point coïncide en même temps avec les points et ou avec les points opposés, ou en soit peu distant, car nous avons déjà, dans l’article 138, exclu de notre recherche le cas dans lequel coïncide avec
Les arcs et étant trouvés, la position des points et sera donnée, et l’on pourra obtenir la distance au moyen de et
Soient les inclinaisons des grands cercles sur le grand cercle (qui, dans la figure 4, seront respectivement les angles et ), et nous aurons alors les équations suivantes, entièrement analogues aux équations 3−6 (art. 137) :
