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LIVRE II, SECTION I.
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Aussitôt que l’angle
est obtenu, on a immédiatement
par
l’équation
![{\displaystyle r'={\frac {\mathrm {R} '\sin \delta '}{\sin z}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7654775184e292fdc959050931a5a1ae3cd8af5e)
De plus, au moyen de l’équation
et de l’équation III nous
obtenons
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {n'r'}{n}}&={\frac {(\mathrm {P} +a)\mathrm {R} '\sin \delta '}{b\sin(z-\sigma )}},\\{\frac {n'r'}{n''}}&={\frac {1}{\mathrm {P} }}.{\frac {n'r'}{n}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89b46dc04d748cb028bebffee3c2ad315b0202b9)
Maintenant, pour que les formules, d’après lesquelles les positions
des points
sont déterminées relativement à la position du
point
soient traitées de manière que leur exactitude générale se
montre immédiatement aussi relativement à ces cas que la figure 4
ne représente pas, nous observons que le sinus de la distance du
point
au grand cercle
(prise positivement dans la région supérieure, négativement dans l’inférieure) est égal au produit du sinus
par le sinus de la distance du point
au point
distance mesurée
suivant la direction directe, et par suite est égal à
![{\displaystyle -\sin \varepsilon ''\sin \mathrm {C'D} ''=-\sin \varepsilon ''\sin(z+\mathrm {A'D} ''-\delta ')\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25236c3789b8c42b44f0b1d82ae3db5d8826fb6b)
de même, le sinus de la distance du point
au grand cercle
Mais il est évident, que ces mêmes sinus sont entre
eux comme
est à
ou comme
est à
ou comme
est à ![{\displaystyle n'r'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8103fa1b011fd8839314ea612a0d6ef3952ed12f)
En posant donc
nous avons
V.
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D’une manière entièrement semblable, on obtient, en posant
VI.
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