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DÉTERMINATION DE L’ORBITE D’APRÈS TROIS OBSERVATIONS COMPLÈTES.

distance du point $\mathrm {C}$ au point $\mathrm {B} ,$ est au sinus de la distance du point $\mathrm {D} '$ au point $\mathrm {B} ,$ les deux distances étant comptées dans le même sens.

Nous avons donc

$-\sin {\mathfrak {C}}={\frac {\sin {\mathfrak {D'}}\sin \mathrm {CB} }{\sin(\mathrm {AD} '-\delta )}},$

et l’on déduit, entièrement de la même manière,

${\begin{aligned}-\sin {\mathfrak {C}}&={\frac {\sin {\mathfrak {D''}}\sin \mathrm {CB} }{\sin(\mathrm {AD} ''-\delta )}}\\[0.75ex]-\sin {\mathfrak {C'}}&={\frac {\sin {\mathfrak {D}}\sin \mathrm {C'B} ^{\star }}{\sin(\mathrm {A'D} -\delta '+\sigma )}}={\frac {\sin {\mathfrak {D''}}\sin \mathrm {C'B} ^{\star }}{\sin(\mathrm {A'D} ''-\delta '+\sigma )}}\\[0.75ex]-\sin {\mathfrak {C''}}&={\frac {\sin {\mathfrak {D}}\sin \mathrm {C''B} ''}{\sin(\mathrm {A''D} -\delta '')}}={\frac {\sin {\mathfrak {D'}}\sin \mathrm {C''B} ''}{\sin(\mathrm {A''D} '-\delta '')}}.\end{aligned}}$

En divisant donc l’équation (II) par $r''\!\sin {\mathfrak {C}}'',$ il vient.

${\begin{aligned}0&=n.{\frac {r\sin \mathrm {CB} }{r''\sin \mathrm {C''B} ''}}.{\frac {\sin(\mathrm {A''D} '-\delta '')}{\sin(\mathrm {AD} '-\delta )}}\\&-n'{\frac {r'\sin \mathrm {C'B} ^{\star }}{r''\sin \mathrm {C''B} ''}}.{\frac {\sin(\mathrm {A''D} -\delta '')}{\sin(\mathrm {A'D} -\delta '+\sigma )}}+n''.\end{aligned}}$

Si nous désignons l’arc $\mathrm {C'B} '$ par $z,$ qu’à la place de $r,\,r',\,r''$ nous substituions leurs valeurs de l’article précédent, et que, pour abréger, nous posions

[11]

${\frac {\mathrm {R} \sin \delta \sin(\mathrm {A''D} '-\delta '')}{\mathrm {R} ''\sin \delta ''\sin(\mathrm {AD} '-\delta )}}=a$

[12]

${\frac {\mathrm {R} '\sin \delta '\sin(\mathrm {A''D} -\delta '')}{\mathrm {R} ''\sin \delta ''\sin(\mathrm {A'D} -\delta '\!+\sigma )}}=b,$

notre équation deviendra

(III)

$0=an-bn'.{\frac {\sin(z-\sigma )}{\sin z}}+n''\dots$

On pourra aussi calculer le coefficient $b$ par la formule suivante, qui se déduit facilement des équations que nous venons d’introduire :

[13]

$a\times {\frac {\mathrm {R} '\sin \delta '\sin(\mathrm {AD} ''-\delta )}{\mathrm {R} \sin \delta \sin(\mathrm {A'D} ''-\delta '+\sigma )}}=b.$

Pour vérifier le calcul, il ne sera pas inutile d’employer l’une et l’autre des formules 12 et 13. Quand $\sin(\mathrm {A'D} ''\!-\delta '\!+\sigma )$ est plus grand que $\sin(\mathrm {A'D} -\delta '\!+\sigma ),$ la dernière formule est moins affectée par les