nous aurons, à la place de l’équation III,
d’où, en faisant
on retrouve la même équation IV.
De même, dans le cas spécial où devient infini et d’où le facteur dans l’équation IV, semble indéterminé ; néanmoins, il est réellement déterminé, et avec un peu d’attention, on verra que sa valeur est
Dans ce cas, il vient donc
![{\displaystyle \sin z=\mathrm {R} '\sin \delta '={\sqrt[{3}]{\frac {2(b-1)(\mathrm {P} +d)}{\mathrm {Q} (\mathrm {P} +a)}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be45915082cb61754210855ac4fda091b664bb55)
L’équation IV, qui étant développée monterait au huitième degré, est très-promptement résolue, sans changer sa forme, à l’aide de tâtonnements. Au reste, d’après la théorie des équations, on peut facilement démontrer (ce que nous omettons cependant de développer ici plus longuement, afin d’être plus concis) que cette équation admet deux ou quatre solutions de valeurs réelles. Dans le premier cas, une valeur de sera positive, l’autre négative devra être rejetée, parce que, par la nature du problème, ne peut être négatif. Dans le dernier cas, parmi les valeurs de une sera positive et les trois autres négatives — il n’y aura donc pas alors d’incertitude pour savoir laquelle adopter — ou il y en aura trois positives avec une négative ; dans ce cas, il faut aussi rejeter parmi ces valeurs positives celles, s’il s’en trouve, qui donnent plus grand que puisque, par une autre condition essentielle du problème, et par suite aussi, doit être une quantité positive.
Toutes les fois que les observations sont distantes l’une de l’autre d’intervalles de temps médiocres, le dernier cas où trois valeurs positives de satisfont à l’équation se présentera le plus souvent.
