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DÉTERMINATION DE L’ORBITE D’APRÈS TROIS OBSERVATIONS COMPLÈTES.

$\sin \delta ={\frac {\sin \beta }{\sin \gamma }},\qquad \cos \delta =\cos \beta \cos(\alpha -l).$

Pour la détermination de $\gamma ',\,\delta ',\,\gamma '',\,\delta ''$ on aura évidemment des formules entièrement analogues. Si maintenant, on avait en même temps $\beta =0,$ $\alpha -l=0$ ou $180^{\circ }\!,$ c’est-à-dire, si le corps céleste était en même temps en opposition ou en conjonction, et dans le plan de l’écliptique, $\gamma$ serait indéterminé ; mais nous supposons que ce cas ne se présente pour aucune des trois positions observées.

Si, à la place de l’écliptique, l’équateur est adopté comme plan fondamental, alors, pour déterminer les positions des trois grands cercles par rapport à l’équateur, il faudra, en outre des inclinaisons, les ascensions droites de leurs intersections avec l’équateur ; et l’on devra aussi calculer, outre les distantes des points $\mathrm {B} ,\,\mathrm {B} ',\,\mathrm {B} ''$ à ces intersections, les distances des points $\mathrm {A} ,\,\mathrm {A} ',\,\mathrm {A} ''$ à ces mêmes intersections. Puisque ces quantités dépendent du problème traité dans l’article 110, nous ne nous arrêterons pas ici au développement de ces formules.

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Le second travail sera la détermination de la position relative de ces trois grands cercles entre eux, détermination qui dépendra de la position de leurs intersections mutuelles et de leurs inclinaisons.

Si nous désirons réduire, sans ambiguïté, cette détermination à des notions claires et générales, de manière qu’il n’y ait pas besoin, pour chaque cas différent, de recourir à des figures particulières, il conviendra de donner préalablement quelques éclaircissements préliminaires. Premièrement, dans tout grand cercle, deux directions opposées doivent être distinguées d’une manière quelconque, ce qui se fera en considérant l’une comme directe ou positive, et l’autre comme rétrograde ou négative. Puisque ceci est par soi-même entièrement arbitraire, dans le but d’établir une règle certaine, nous considérerons comme positives les directions de $\mathrm {A} ,\,\mathrm {A} ',\,\mathrm {A} ''$ vers $\mathrm {B} ,\,\mathrm {B} ',\,\mathrm {B} ''\,;$ ainsi, par exemple, si l’intersection du premier cercle avec le second est représentée par une distance positive comptée du point $\mathrm {A} ,$ il sera compris que cette distance doit être prise de $\mathrm {A}$ vers $\mathrm {B}$ (comme $\mathrm {D} ''$ dans notre figure) ; mais si elle était négative, il faudrait la compter à partir du même point $\mathrm {A} ,$ mais de l’autre côté. Et secondement, les deux hémisphères, suivant lesquels tout grand cercle divise la sphère, doivent aussi être distingués par des dénominations conve-