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LIVRE I, SECTION III.

mais il est préférable, aussi pour les usages suivants, d’introduire un angle auxiliaire $n$ déterminé par l’équation

$\operatorname {tang} 2n=2{\sqrt {z+z^{2}}}\,;$

on aura d’après cela,

$c=\operatorname {tang} 2n+{\sqrt {1+\operatorname {tang} ^{2}2n}}=\operatorname {tang} (45^{\circ }\!+n).$

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Puisque dans l’hyperbole comme dans l’ellipse $y$ doit nécessairement être positif, la résolution de l’équation 16 ne peut aussi être ici sujette à ambiguïté^[1] ; mais, en ce qui concerne l’équation 16^∗, on doit raisonner ici un peu autrement que dans l’ellipse. De la théorie des équations on établit facilement que pour une valeur positive de $\mathrm {H}$^[2], cette équation (si à la vérité elle a quelque racine réelle positive) a, avec une racine négative, deux racines positives, qui seront ou toutes deux égales, c’est-à-dire égales à

${\frac {1}{6}}{\sqrt {5}}-{\frac {1}{6}}=0,20601,$

ou l’une plus grande que cette limite, et l’autre plus petite. Nous démontrons maintenant, de la manière suivante, que dans notre problème (puisque par la supposition faite ci-dessus, $z$ est une quantité assez petite, au moins inférieure à $0,3$ afin de pouvoir se servir de la troisième table), on doit nécessairement prendre toujours la racine la plus grande.

Si nous substituons, dans l’équation 13^∗, à la place de $\mathrm {M}$ sa valeur $\mathrm {Y} {\sqrt {\mathrm {L} +{\overset {}{z}}}},$ il vient

$\mathrm {Y} +1=(\mathrm {L} +z)\mathrm {Z} >(1+z)\mathrm {Z} ,$

ou

$\mathrm {Y} >{\frac {1}{3}}-{\frac {4}{3.5}}z+{\frac {4.6}{3.5.7}}z^{2}-{\frac {4.6.8}{3.5.7.9}}z^{3}+\dots ,$

1. Il sera à peine nécessaire de rappeler que notre table II peut être employée dans l’hyperbole comme dans l’ellipse, pour la résolution de cette équation, tant que $h$ ne dépasse pas ses limites.
2. La quantité $\mathrm {H}$ ne peut évidemment devenir négative, à moins qu’on ait $\zeta >{\frac {1}{6}}\,;$ mais à une telle valeur de $\zeta$ répondrait une valeur de $z$ plus grande que $2,684$ et par suite s’écartant beaucoup des limites de cette méthode.