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LIVRE I, SECTION III.

${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{r'}}\!-\!{\frac {1}{r''}}\right)\operatorname {cotang} {\frac {1}{2}}(\mathrm {N} ''\!-\!\mathrm {N} ')-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{r}}\!-\!{\frac {1}{r'}}\right)\operatorname {cotang} {\frac {1}{2}}(\mathrm {N} '\!-\!\mathrm {N} )\\={\frac {e}{p}}\sin {\frac {1}{2}}(\mathrm {N} ''\!-\!\mathrm {N} )\cos \left({\frac {1}{2}}\mathrm {N} +{\frac {1}{2}}\mathrm {N} ''-\Pi \right).\end{aligned}}$

En combinant cette équation avec la seconde des équations II, $\Pi$ et ${\frac {e}{p}}$ seront déterminés ; et alors $\Pi$, par la formule.

${\begin{aligned}&\operatorname {tang} \left({\frac {1}{2}}\mathrm {N} +{\frac {1}{2}}\mathrm {N} ''-\Pi \right)\\[0ex]&\qquad ={\frac {{\dfrac {r'}{r}}-{\dfrac {r'}{r''}}}{\left(1\!-\!{\dfrac {r'}{r''}}\right)\operatorname {cotang} {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {N} ''\!-\!\mathrm {N} )-\left({\dfrac {r'}{r}}\!-\!1\right)\operatorname {cotang} {\dfrac {1}{2}}(\mathrm {N} '\!-\!\mathrm {N} )}}.\end{aligned}}$

De là aussi, dérivent deux autres formules entièrement analogues en changeant le second lieu avec le premier ou avec le troisième.

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Puisqu’on peut déterminer l’orbite entière, au moyen de deux rayons vecteurs donnés de grandeur et de position, avec un élément de l’orbite, on pourra aussi, avec ces données, déterminer le temps pendant lequel le corps céleste se meut d’un rayon vecteur à l’autre, si à la vérité nous négligeons la masse de l’astre ou si nous la regardons comme connue : nous nous en tiendrons à la première hypothèse, à laquelle la seconde est facilement réduite. De là, réciproquement, il est évident que deux rayons vecteurs donnés de grandeur et de position avec le temps pendant lequel le corps céleste décrit l’espace compris, déterminent l’orbite entière. Mais ce problème, qui doit être considéré comme très-important dans la théorie du mouvement des corps célestes, n’est pas si facilement résolu, puisque l’expression du temps en fonction des éléments est transcendante et de plus assez compliquée. Il est, pour cela, le plus digne d’être traité avec tout le soin possible ; c’est pourquoi, nous espérons qu’il ne sera pas désagréable au lecteur que, outre la solution enseignée plus loin, solution qui parait ne rien laisser à désirer, nous ayons considéré comme devant aussi être arrachée à l’oubli, celle dont nous nous sommes fréquemment servis, avant que la première ne se soit offerte à nous. Il est toujours favorable d’attaquer par plusieurs voies un problème plus difficile, et de ne pas mépriser la bonne quoiqu’on