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LIVRE I, SECTION II.
soin d’une précision extrême dans la valeur de
; mais cette incertitude est facilement écartée au moyen de l’équation
![{\displaystyle \cos b\cos \delta \sin \mathrm {E} =\cos \varepsilon -\sin b\sin \delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b92c885de2b351a9657d8013ec9ac7002672b63e)
,
qui fait voir que l’on doit prendre
entre 0° et 180° ou entre 180°
et 360°, selon que
est plus grand ou plus petit que
.
Il est évident que cet examen n’est pas nécessaire toutes les fois que
l’un ou l’autre des angles
et
ne dépasse pas la limite 66° 32′ ; alors
sera, en effet, toujours positif. Au reste, la même équation indiquée dans le cas précédent pourra être employée pour une détermination plus exacte de
, si on le trouve avantageux.
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La solution du problème inverse, c’est-à-dire, la détermination de la
longitude et de la latitude d’après l’ascension droite et la déclinaison,
est obtenue par le même triangle sphérique ; c’est pourquoi, les formules développées ci-dessus seront disposées dans ce but par la
seule permutation de
en
et de
en
. À cause de leur fréquent
usage, on ne se repentira pas de placer ici ces formules.
D’après la méthode de l’art. 66, nous aurons
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin \left(\!45^{\circ }\!\!-{\frac {1}{2}}b\right)\sin {\frac {1}{2}}(\mathrm {E} -l)=\cos \left(\!45^{\circ }\!\!+{\frac {1}{2}}\alpha \right)\sin \left(\!45^{\circ }\!\!-{\frac {1}{2}}(\varepsilon +\delta )\right)\\\sin \left(\!45^{\circ }\!\!-{\frac {1}{2}}b\right)\cos {\frac {1}{2}}(\mathrm {E} -l)=\sin \left(\!45^{\circ }\!\!+{\frac {1}{2}}\alpha \right)\cos \left(\!45^{\circ }\!\!-{\frac {1}{2}}(\varepsilon -\delta )\right)\\\cos \left(\!45^{\circ }\!\!-{\frac {1}{2}}b\right)\sin {\frac {1}{2}}(\mathrm {E} +l)=\sin \left(\!45^{\circ }\!\!+{\frac {1}{2}}\alpha \right)\sin \left(\!45^{\circ }\!\!-{\frac {1}{2}}(\varepsilon -\delta )\right)\\\cos \left(\!45^{\circ }\!\!-{\frac {1}{2}}b\right)\cos {\frac {1}{2}}(\mathrm {E} +l)=\cos \left(\!45^{\circ }\!\!+{\frac {1}{2}}\alpha \right)\cos \left(\!45^{\circ }\!\!-{\frac {1}{2}}(\varepsilon +\delta )\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36db1cb87b29dde1eb52afcf5cebb4ae26f999c4)
Au contraire, ainsi que dans l’autre méthode, art. 67, nous déterminerons l’angle auxiliaire
par l’équation
![{\displaystyle \operatorname {tang} \zeta ={\frac {\operatorname {tang} \delta }{\sin \alpha }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fa96e3c17287c15364e6603c945f4a4606c075a)
,
et l’on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tang} l&={\frac {\cos(\zeta -\varepsilon )\operatorname {tang} \alpha }{\cos \zeta }}\\\operatorname {tang} b&=\sin l\operatorname {tang} (\zeta -\varepsilon ).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a0e6816e5e140c1bb234c78595d43bd1866d41f)