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leurs véritables des inconnues se confondraient avec les plus plausibles. Nous pouvons donc affirmer, en général, que l’erreur moyenne calculée par la pratique ordinaire est plus petite que l’erreur moyenne exacte, et que l’on attribue, par conséquent, aux observations une trop grande précision.

Voyons ce que donne une théorie rigoureuse.

38.

Avant tout, il faut chercher comment la quantité $\mathrm {M}$ dépend des véritables erreurs des observations. Désignons ces erreurs, comme dans l’art. 28, par $e$, $e'$, $e''$, etc., et posons, pour plus de simplicité,

${\begin{aligned}e{\sqrt {p}}&=\varepsilon ,&e'{\sqrt {p'}}&=\varepsilon ',&e''{\sqrt {p''}}&=\varepsilon '',\ldots ,\end{aligned}}$

et

$m{\sqrt {p}}=m'{\sqrt {p'}}=m''{\sqrt {p''}}=\ldots =\mu .$

Soient

${\begin{aligned}\mathrm {A} -x^{0}&,&\mathrm {B} -y^{0}&,&\mathrm {C} -z^{0},\ldots ,&\end{aligned}}$

les vraies valeurs des inconnues $x$, $y$, $z$, etc., pour lesquelles $\xi$, $\eta$, $\zeta$, etc., soient, respectivement, $-\xi ^{0}$, $-\eta ^{0}$, $-\zeta ^{0}$, etc. Les valeurs correspondantes de $v$, $v'$, $v'$, etc., seront évidemment

${\begin{aligned}-\varepsilon &,&-\varepsilon '&,&-\varepsilon '',\ldots ;&\end{aligned}}$

de sorte qu’on aura

${\begin{array}{l}{\begin{alignedat}{7}\xi ^{0}&{}={}&a\,&\varepsilon &&{}+{}&\,a'\,&\varepsilon '&&{}+{}&\,a''\,&\varepsilon ''&&{}+{}\ldots ,\\\eta ^{0}&{}={}&b\,&\varepsilon &&{}+{}&\,b'\,&\varepsilon '&&{}+{}&\,b''\,&\varepsilon ''&&{}+{}\ldots ,\\\zeta ^{0}&{}={}&c\,&\varepsilon &&{}+{}&\,c'\,&\varepsilon '&&{}+{}&\,c''\,&\varepsilon ''&&{}+{}\ldots ,\end{alignedat}}\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\{\begin{alignedat}{7}x^{0}&{}={}&\alpha \,&\varepsilon &&{}+{}&\alpha '\,&\varepsilon '&&{}+{}&\alpha ''\,&\varepsilon ''&&{}+{}\ldots ,\\y^{0}&{}={}&\beta \,&\varepsilon &&{}+{}&\beta '\,&\varepsilon '&&{}+{}&\beta ''\,&\varepsilon ''&&{}+{}\ldots ,\\z^{0}&{}={}&\gamma \,&\varepsilon &&{}+{}&\gamma '\,&\varepsilon '&&{}+{}&\gamma ''\,&\varepsilon ''&&{}+{}\ldots ,\end{alignedat}}\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \end{array}}$

enfin

$\Omega ^{0}=\varepsilon ^{2}+{\varepsilon '}^{2}+{\varepsilon ''}^{2}+\ldots$

sera la valeur de la fonction $\Omega$, correspondant aux vraies valeurs des $x$, $y$, $z$, etc.