Page:Gauss - Méthode des moindres carrés, trad. Bertrand, 1855.djvu/70

( 56 )

donne une autre détermination $v^{\ast }=0$, indépendante de la première, ayant pour poids l’unité ; leur combinaison donnera la détermination

$v^{\ast }={\frac {\mathrm {K} }{1+\omega }},$

qui aura pour poids

${\frac {1}{\omega }}+1.$

II. On conclut de ce qui précède que, pour

$x=\mathrm {A} ^{\ast },\quad y=\mathrm {B} ^{\ast },\quad z=\mathrm {C} ^{\ast },\ldots ,$

on devra avoir

$\xi ^{\ast }=0,\quad \eta ^{\ast }=0,\quad \zeta ^{\ast }=0,\ldots ,$

et, par suite,

${\begin{aligned}\xi &=-{\frac {f\,\mathrm {K} }{1+\omega }},&\eta &=-{\frac {g\,\mathrm {K} }{1+\omega }},&\zeta &=-{\frac {h\,\mathrm {K} }{1+\omega }},\ldots \\\end{aligned}}$

Puisque d’ailleurs

${\begin{aligned}\Omega &=\xi \,(x-\mathrm {A} )+\eta \,(y-\mathrm {B} )+\zeta \,(z-\mathrm {C} )+\ldots +\mathrm {M} ,\\\Omega ^{\ast }&=\Omega +{v^{\ast }}^{2},\end{aligned}}$

on devra avoir, pour ces mêmes valeurs,

${\begin{alignedat}{2}\Omega &={\frac {\mathrm {K} ^{2}}{{(1+\omega )}^{2}}}\,\left(\mathrm {F} \,f+\mathrm {G} \,g+\mathrm {H} \,h+\ldots \right)+\mathrm {M} &&=\mathrm {M} +{\frac {\omega \,\mathrm {K} ^{2}}{{(1+\omega )}^{2}}},\end{alignedat}}$

et

${\begin{alignedat}{2}\Omega ^{\ast }=\mathrm {M} +{\frac {\omega \,\mathrm {K} ^{2}}{{(1+\omega )}^{2}}}+{\frac {\mathrm {K} ^{2}}{{(1+\omega )}^{2}}}&&=\mathrm {M} +{\frac {\mathrm {K} ^{2}}{1+\omega }}\cdot \end{alignedat}}$

III. En comparant ces résultats avec ceux de l’article 30, nous voyons ici que la fonction $\Omega$ a la plus petite valeur qu’elle puisse obtenir lorsqu’on s’impose la condition

$v^{\ast }={\frac {\mathrm {K} }{1+\omega }}\cdot$