( 43 )
sera, d’après l’article précédent, égale au produit de
par la somme
![{\displaystyle {\begin{aligned}f^{2}(\alpha \alpha )&+2fg\,(\alpha \beta )+2fh\,(\alpha \gamma )+\ldots \\&{\begin{aligned}+\;g^{2}\,(\beta \beta )&+2gh\,(\beta \gamma )+\ldots \\&+h^{2}\,(\gamma \gamma )+\ldots ,\end{aligned}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2dd67278d9fb934cc82f0bca9a265c617c7fa8d)
c’est-à-dire au produit de
par la valeur de la fonction
, lorsqu’on y fait
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi &=f,&\eta &=g,&\zeta &=h,\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f77b9fc9fe6e046d96510d6b1e34971dca5b4b1)
Désignons par
cette valeur de
; l’erreur moyenne à craindre, lorsque l’on prend
, sera
et le poids de cette détermination sera
.
Puisque l’on a identiquement
![{\displaystyle \Omega -\mathrm {M} =(x-\mathrm {A} )\,\xi +(y-\mathrm {B} )\,\eta +(z-\mathrm {C} )\,\zeta +\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4df72f6411070f4edccc49488a755eb84493efff)
sera égal à la valeur de l’expression
![{\displaystyle (x-\mathrm {A} )\,f+(y-\mathrm {B} )\,g+(z-\mathrm {C} )\,h+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8f1409d7108184fcc5181872e00db52f1612e3e)
[qui représente
], dans laquelle on remplacera
,
,
, etc., par les valeurs correspondantes à
,
,
, etc.
Enfin, observant que
, exprimé en fonction des quantités
,
,
, etc., aura
pour partie constante, si l’on suppose
![{\displaystyle t=\mathrm {F} \,\xi +\mathrm {G} \,\eta +\mathrm {H} \,\zeta +\ldots +\mathrm {K} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c03e38f4295e265ad5a277f00ed03986d052f34)
on aura
![{\displaystyle \omega =f\,\mathrm {F} +g\,\mathrm {G} +h\,\mathrm {H} +\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5e2a483dd520362a97fdfbdedefe79c884b150f)
30.
Nous avons vu que la fonction
acquiert son minimum absolu
, lorsque l’on y fait
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\mathrm {A} ,&y&=\mathrm {B} ,&z&=\mathrm {C} ,\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7196dde5752c99d236788aa97780cb531d05c89e)
ou, ce qui revient au même,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi &=0,&\eta &=0,&\zeta &=0,\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43b8a199cd33b62af7c48b11e45989de15ad2f2f)