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sera, d’après l’article précédent, égale au produit de $m^{2}p$ par la somme

${\begin{aligned}f^{2}(\alpha \alpha )&+2fg\,(\alpha \beta )+2fh\,(\alpha \gamma )+\ldots \\&{\begin{aligned}+\;g^{2}\,(\beta \beta )&+2gh\,(\beta \gamma )+\ldots \\&+h^{2}\,(\gamma \gamma )+\ldots ,\end{aligned}}\end{aligned}}$

c’est-à-dire au produit de $m^{2}p$ par la valeur de la fonction $\Omega -\mathrm {M}$, lorsqu’on y fait

${\begin{aligned}\xi &=f,&\eta &=g,&\zeta &=h,\ldots .\end{aligned}}$

Désignons par $\omega$ cette valeur de $\Omega -\mathrm {M}$ ; l’erreur moyenne à craindre, lorsque l’on prend $t=\mathrm {K}$, sera $m{\sqrt {p^{\stackrel {}{}}\omega }}$ et le poids de cette détermination sera ${\tfrac {1}{\omega }}$.

Puisque l’on a identiquement

$\Omega -\mathrm {M} =(x-\mathrm {A} )\,\xi +(y-\mathrm {B} )\,\eta +(z-\mathrm {C} )\,\zeta +\ldots ,$

$\omega$ sera égal à la valeur de l’expression

$(x-\mathrm {A} )\,f+(y-\mathrm {B} )\,g+(z-\mathrm {C} )\,h+\ldots$

[qui représente $(t=\mathrm {K} )$], dans laquelle on remplacera $x$, $y$, $z$, etc., par les valeurs correspondantes à $\xi =f$, $\eta =g$, $\zeta =h$, etc.

Enfin, observant que $t$, exprimé en fonction des quantités $\xi$, $\eta$, $\zeta$, etc., aura $\mathrm {K}$ pour partie constante, si l’on suppose

$t=\mathrm {F} \,\xi +\mathrm {G} \,\eta +\mathrm {H} \,\zeta +\ldots +\mathrm {K} ,$

on aura

$\omega =f\,\mathrm {F} +g\,\mathrm {G} +h\,\mathrm {H} +\ldots .$

30.

Nous avons vu que la fonction $\Omega$ acquiert son minimum absolu $\mathrm {M}$, lorsque l’on y fait

${\begin{aligned}x&=\mathrm {A} ,&y&=\mathrm {B} ,&z&=\mathrm {C} ,\ldots ,\end{aligned}}$

ou, ce qui revient au même,

${\begin{aligned}\xi &=0,&\eta &=0,&\zeta &=0,\ldots .\end{aligned}}$