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nous trouverons ici

${\begin{aligned}\sum \beta \,a&=0,&\sum \beta \,b&=1,&\sum \beta \,c&=0,\ldots ,&\sum \beta \,l&=-\mathrm {B} ,\\[1ex]\sum \gamma \,a&=0,&\sum \gamma \,b&=0,&\sum \gamma \,c&=1,\ldots ,&\sum \gamma \,l&=-\mathrm {C} \,;\\\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

On aura aussi, comme dans l’art. 20,

${\begin{aligned}\sum \alpha ^{2}&=(\alpha \alpha ),&\sum \beta ^{2}&=(\beta \beta ),&\sum \gamma ^{2}&=(\gamma \gamma ),\ldots .\end{aligned}}$

Multiplions les valeurs $\alpha$, $\alpha '$, $\alpha ''$, etc. (art. 20), respectivement, par $\beta$, $\beta '$, $\beta ''$, etc., et ajoutons ; nous aurons

$\alpha \beta +\alpha '\beta '+\alpha ''\beta ''+\ldots =(\alpha \beta ),$

c’est-à-dire

$\sum \alpha \beta =(\alpha \beta ).$

En multipliant $\beta$, $\beta '$, $\beta ''$, etc., respectivement, par $\alpha$, $\alpha '$, $\alpha ''$, etc., et ajoutant, on trouvera

$\alpha \beta +\alpha '\beta '+\alpha ''\beta ''+\ldots =(\beta \alpha )\,;$

donc

$(\alpha \beta )=(\beta \alpha ).$

On trouverait, de la même manière,

${\begin{aligned}(\alpha \gamma )&=(\gamma \alpha )=\sum \alpha \gamma ,&(\beta \gamma )&=(\gamma \beta )=\sum \beta \gamma ,\ldots .\end{aligned}}$

25.

Désignons par $\lambda$, $\lambda '$, $\lambda ''$, etc., les valeurs que prennent les fonctions $v$, $v'$, $v''$, etc., quand on y remplace $x$, $y$, $z$, etc., par leurs valeurs les plus plausibles, $\mathrm {A}$, $\mathrm {B}$, $\mathrm {C}$, etc., c’est-à-dire posons

${\begin{array}{l}{\begin{alignedat}{5}&a&\mathrm {A} &{}+{}b&\mathrm {B} &{}+{}c&\mathrm {C} {}+{}\ldots {}+{}&l&{}={}&\lambda ,\\&a'&\mathrm {A} &{}+{}b'&\mathrm {B} &{}+{}c'&\mathrm {C} {}+{}\ldots {}+{}&l'&{}={}&\lambda ',\\&a''&\mathrm {A} &{}+{}b''&\mathrm {B} &{}+{}c''&\mathrm {C} {}+{}\ldots {}+{}&l''&{}={}&\lambda '',\end{alignedat}}\\\;\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \end{array}}$

Si nous faisons

$\lambda ^{2}+{\lambda '}^{2}+{\lambda ''}^{2}+\ldots =\mathrm {M} ,$