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que les variables $x$, $y$, $z$, etc., prennent des accroissements proportionnels à $\mathrm {F}$, $\mathrm {G}$, $\mathrm {H}$, etc. Il en sera évidemment de même des fonctions $\mathrm {V}$, $\mathrm {V} '$, $\mathrm {V} ''$, etc. : or cela ne peut avoir lieu que dans le cas où il serait impossible de déterminer $x$, $y$, $z$, etc., à l’aide des valeurs de $\mathrm {V}$, $\mathrm {V} '$, $\mathrm {V} ''$, etc., lors même que celles-ci seraient exactement connues ; mais alors le problème serait indéterminé par sa nature, et nous exclurons ce cas de nos recherches.

24.

Désignons par $\beta$, $\beta '$, $\beta ''$, etc., des multiplicateurs qui jouent le même rôle relativement à l’inconnue $y$, que les multiplicateurs $\alpha$, $\alpha '$, $\alpha ''$, etc., relativement à l’inconnue $x$, c’est-à-dire tels, que l’on ait

${\begin{array}{l}{\begin{alignedat}{4}&a&(\beta \alpha )&{}+{}b&(\beta \beta )&{}+{}c&(\beta \gamma )&{}+{}\ldots =\beta ,\\&a'&(\beta \alpha )&{}+{}b'&(\beta \beta )&{}+{}c'&(\beta \gamma )&{}+{}\ldots =\beta ',\\&a''&(\beta \alpha )&{}+{}b''&(\beta \beta )&{}+{}c''&(\beta \gamma )&{}+{}\ldots =\beta '',\end{alignedat}}\\\;\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \end{array}}$

on aura identiquement

$\beta v+\beta 'v'+\beta ''v''+\ldots =y-\mathrm {B} .$

Soient $\gamma$, $\gamma '$, $\gamma ''$, etc., les multiplicateurs analogues relatifs à la variable $z$ tels, que l’on ait :

${\begin{array}{l}{\begin{alignedat}{4}&a&(\gamma \alpha )&{}+{}b&(\gamma \beta )&{}+{}c&(\gamma \gamma )&{}+{}\ldots =\gamma ,\\&a'&(\gamma \alpha )&{}+{}b'&(\gamma \beta )&{}+{}c'&(\gamma \gamma )&{}+{}\ldots =\gamma ',\\&a''&(\gamma \alpha )&{}+{}b''&(\gamma \beta )&{}+{}c''&(\gamma \gamma )&{}+{}\ldots =\gamma '',\end{alignedat}}\\\;\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \end{array}}$

et, par suite,

$\gamma v+\gamma 'v'+\gamma ''v''+\ldots =z-\mathrm {C} .$

De la même manière que l’on a trouvé (art. 20)

${\begin{aligned}\sum \alpha a&=1,&\sum \alpha b&=0,&\sum \alpha c&=0,\ldots ,&\sum \alpha l&=-\mathrm {A} ,\end{aligned}}$