problème est certainement le plus important que présente l’application des mathématiques à la philosophie naturelle.
Nous avons montré, dans la Théorie du Mouvement des Corps célestes, comment on trouve les valeurs les plus probables des inconnues lorsque l’on connaît la loi de probabilité des erreurs des observations, et comme, dans presque tous les cas, cette loi par sa nature reste hypothétique, nous avons appliqué cette théorie à l’hypothèse très-plausible, que la probabilité de l’erreur soit proportionnelle à ; de là cette méthode que j’ai suivie, surtout dans les calculs astronomiques, et que maintenant la plupart des calculateurs emploient sous le nom de Méthode des moindres carrés.
Dans la suite, Laplace, considérant la question sous un autre point de vue, montra que ce principe est préférable à tous les autres, quelle que soit la loi de probabilité des erreurs, pourvu que le nombre des observations soit très-grand. Mais lorsque ce nombre est restreint, la question est encore intacte ; de sorte que, si l’on rejette notre loi hypothétique, la méthode des moindres carrés serait préférable aux autres, par la seule raison qu’elle conduit à des calculs plus simples.
Nous espérons donc être agréable aux géomètres en démontrant, dans ce Mémoire, que la méthode des moindres carrés fournit les combinaisons les plus avantageuses des observations, non-seulement approximativement, mais encore d’une manière absolue, et cela quelle que soit la loi de probabilité des erreurs et quel que soit le nombre des observations, pourvu que l’on adopte pour l’erreur moyenne, non pas la définition de Laplace, mais celle que nous avons donnée dans les art. 5 et 6.
Il est nécessaire d’avertir ici que, dans les recherches suivantes, il ne sera question que des erreurs fortuites diminuées de leur partie constante. C’est à l’observateur qu’il appartient d’éloigner soigneusement les causes d’erreurs constantes.