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les principes précédents, donnée par la formule
![{\displaystyle {\frac {\sqrt {(n^{4}-m^{4})+{\alpha '}^{2}({n'}^{4}-{m'}^{4})+{\alpha ''}^{2}({n''}^{4}-{m''}^{4})+\ldots }}{1+\alpha '{\mu '}^{2}+\alpha ''{\mu ''}^{2}+\ldots }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e4024f8dd5b40f82360bd14017d09addff1d136)
.
Pour que cette erreur soit la plus petite possible, il faudra poser
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha '&={\frac {n^{4}-m^{4}}{{n'}^{4}-{m'}^{4}}}\,{\mu '}^{2},\\\alpha ''&={\frac {n^{4}-m^{4}}{{n''}^{4}-{m''}^{4}}}\,{\mu ''}^{2},\\\,\cdots &\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dfd4037dcee7eace86d64a820dea4086004b75b)
Ces valeurs ne pourront pas s’évaluer tant qu’on ne connaîtra pas les rapports
,
, etc. Dans l’ignorance où l’on est de leur valeur exacte[1], le plus sûr sera de les supposer égaux entre eux (voyez art. 11), et l’on aura alors
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha '&={\frac {1}{{\mu '}^{2}}},&\alpha ''&={\frac {1}{{\mu ''}^{2}}},\dots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cce3321b10573e7814a1de1102e118125d79943)
c’est-à-dire que les coefficients
,
, etc., doivent être supposés égaux aux poids relatifs des diverses observations, en prenant pour unité le poids de celle à laquelle correspond l’erreur
. Ceci posé, désignons, comme ci-dessus, par
le nombre des erreurs proposées ; la valeur moyenne de l’expression
![{\displaystyle {\frac {x^{2}+\alpha '{x'}^{2}+\alpha ''{x''}^{2}+\ldots }{\sigma }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b75ca91e83252d84eb91b0456346bf1fcc1dc85)
sera égale à
, et lorsque nous prendrons, pour la vraie valeur de
, la valeur de cette expression déterminée au moyen des erreurs fortuites
,
,
, etc., l’erreur moyenne à craindre sera
![{\displaystyle {\frac {\sqrt {n^{4}+{\alpha '}^{2}{n'}^{4}+{\alpha ''}^{2}{n''}^{4}+\ldots -\sigma m^{4}}}{\sigma }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/802732ca49277f0d65815b96a41221131bf26d6f)
- ↑ On ne conçoit la possibilité de déterminer exactement
,
,
, etc., que dans le seul cas où, par la nature de la fonction
, les erreurs
,
,
, etc., proportionnelles à
,
,
, etc., seraient également probables, c’est-à-dire le cas où
![{\displaystyle \varphi (x)=\mu '\varphi '(\mu 'x)=\mu ''\varphi ''(\mu ''x)\,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/194d28b57189294a461f49bb1a02a85c49a6f729)