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les principes précédents, donnée par la formule

{\frac {\sqrt {(n^{4}-m^{4})+{\alpha '}^{2}({n'}^{4}-{m'}^{4})+{\alpha ''}^{2}({n''}^{4}-{m''}^{4})+\ldots }}{1+\alpha '{\mu '}^{2}+\alpha ''{\mu ''}^{2}+\ldots }}

.

Pour que cette erreur soit la plus petite possible, il faudra poser

{\begin{aligned}\alpha '&={\frac {n^{4}-m^{4}}{{n'}^{4}-{m'}^{4}}}\,{\mu '}^{2},\\\alpha ''&={\frac {n^{4}-m^{4}}{{n''}^{4}-{m''}^{4}}}\,{\mu ''}^{2},\\\,\cdots &\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\\end{aligned}}

Ces valeurs ne pourront pas s’évaluer tant qu’on ne connaîtra pas les rapports ${\frac {n}{m}}$ , ${\frac {n'}{m'}}$ , etc. Dans l’ignorance où l’on est de leur valeur exacte^[1], le plus sûr sera de les supposer égaux entre eux (voyez art. 11), et l’on aura alors

{\begin{aligned}\alpha '&={\frac {1}{{\mu '}^{2}}},&\alpha ''&={\frac {1}{{\mu ''}^{2}}},\dots ,\end{aligned}}

c’est-à-dire que les coefficients $\alpha '$ , $\alpha ''$ , etc., doivent être supposés égaux aux poids relatifs des diverses observations, en prenant pour unité le poids de celle à laquelle correspond l’erreur $x$ . Ceci posé, désignons, comme ci-dessus, par $\sigma$ le nombre des erreurs proposées ; la valeur moyenne de l’expression

{\frac {x^{2}+\alpha '{x'}^{2}+\alpha ''{x''}^{2}+\ldots }{\sigma }}

sera égale à $m^{2}$ , et lorsque nous prendrons, pour la vraie valeur de $m^{2}$ , la valeur de cette expression déterminée au moyen des erreurs fortuites $x$ , $x'$ , $x''$ , etc., l’erreur moyenne à craindre sera

{\frac {\sqrt {n^{4}+{\alpha '}^{2}{n'}^{4}+{\alpha ''}^{2}{n''}^{4}+\ldots -\sigma m^{4}}}{\sigma }},

↑ On ne conçoit la possibilité de déterminer exactement $\mu$ , $\mu '$ , $\mu ''$ , etc., que dans le seul cas où, par la nature de la fonction $\varphi$ , les erreurs $x$ , $x'$ , $x''$ , etc., proportionnelles à $\mu$ , $\mu '$ , $\mu ''$ , etc., seraient également probables, c’est-à-dire le cas où
$\varphi (x)=\mu '\varphi '(\mu 'x)=\mu ''\varphi ''(\mu ''x)\,\ldots$

(Note de M. Gauss.)

[1] On ne conçoit la possibilité de déterminer exactement $\mu$ , $\mu '$ , $\mu ''$ , etc., que dans le seul cas où, par la nature de la fonction $\varphi$ , les erreurs $x$ , $x'$ , $x''$ , etc., proportionnelles à $\mu$ , $\mu '$ , $\mu ''$ , etc., seraient également probables, c’est-à-dire le cas où
$\varphi (x)=\mu '\varphi '(\mu 'x)=\mu ''\varphi ''(\mu ''x)\,\ldots$

(Note de M. Gauss.)

[1]