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par conséquent, dans ce cas, le coefficient $\lambda$ n’est pas plus grand que ${\frac {2}{3{\sqrt {1-\mu }}}},$ comme nous l’avions annoncé.

Faisons, par exemple,

$\mu ={\frac {1}{2}}$ ;

alors $\lambda$ ne peut pas surpasser ${\sqrt {\frac {3}{4}}}$, c’est-à-dire que l’erreur probable ne peut pas surpasser 0,8660254 $m$, à laquelle elle devient égale dans le premier cas examiné (art. 9) : on conclut facilement de notre théorème que $\mu$ n’est pas moindre que $\lambda \,{\sqrt {\frac {1}{3}}}$, tant que $\lambda$ est moindre que ${\sqrt {\frac {4}{3}}}$, et qu’au contraire, il n’est pas inférieur à $1-{\frac {4}{9\lambda ^{2}}}$, lorsque $\lambda$ est plus grand que ${\sqrt {\frac {4}{3}}}$.

11.

L’intégrale

$\int _{-\infty }^{\infty }x^{4}\varphi (x)\,\mathrm {d} x$,

se présentant dans plusieurs problèmes que nous aurons à traiter, il ne sera pas inutile de l’évaluer dans quelques cas particuliers.

Posons

$\int _{-\infty }^{\infty }x^{4}\varphi (x)\,\mathrm {d} x=n^{4}$.

I. Lorsque

$\varphi (x)={\frac {1}{2a}}$,

pour les valeurs de $x$ comprises entre $-a$ et $+a$, on a

$n^{4}={\frac {a^{4}}{5}}={\frac {9}{5}}\,m^{4}$.