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9.

Soient $\lambda$ un coefficient déterminé et $\mu$ la valeur de l’intégrale

$\int _{-\lambda m}^{\lambda m}\varphi (x)\,\mathrm {d} x$,

$\mu$ sera la probabilité que l’erreur d’une certaine observation soit moindre que $\lambda m$ en valeur absolue ; $1-\mu$ sera, au contraire, la probabilité que cette erreur surpasse $\lambda m$. Si, pour $\mu ={\tfrac {1}{2}}$, $\lambda m$ a la valeur $\rho$, il y aura probabilités égales pour que l’erreur soit plus petite ou plus grande que $\rho$ : $\rho$ pourra donc être appelé l’erreur probable. La relation qui existe entre $\lambda$ et $\mu$ dépend de la nature de la fonction $\varphi$, qui est inconnue dans la plupart des cas. Il est intéressant d’étudier cette relation dans quelques cas particuliers.

I. Si les limites extrêmes des erreurs possibles sont $+a$ et $-a$, et si, entre ces limites, toutes les erreurs sont également probables, la fonction $\varphi (x)$ sera constante entre ces mêmes limites, et, par conséquent, égale à ${\frac {1}{2a}}\cdot$ Par suite, on aura

$m=a\,{\sqrt {\frac {1}{3}}},\qquad \mu =\lambda \,{\sqrt {\frac {1}{3}}},$

tant que $\lambda$ sera inférieur ou égal à ${\sqrt {3}}$; enfin,

$\rho =m\,{\sqrt {\frac {3}{4}}}=$ 0,8660254$m$,

et la probabilité pour que l’erreur ne surpasse pas l’erreur moyenne est

${\sqrt {\frac {1}{3}}}=$ 0,5773503.

II. Si $-a$ et $+a$ sont encore les limites des erreurs possibles, si l’on suppose, de plus, que la probabilité de ces mêmes erreurs aille en décroissant à partir de l’erreur 0