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Si on tire la perpendiculaire PS à l’écliptique, la ligne droite RS, indique le lieu héliocentrique ou le lieu réduit à l’écliptique.

Le lieu geocentrique est ce point de l’écliptique, auquel on rapporte une planete vue de la terre. Voyez Géocentrique.

Ainsi NEOR représentant l’écliptique, &c. T, R donnera le lieu géocentrique. Sur le calcul du lieu d’une planete, voyez Planete, Équation, &c. Chambers. (O)

Lieu géometrique, signifie une ligne par laquelle se résout un problème géométrique. Voyez Problème & Geometrique.

Un lieu est une ligne dont chaque point peut également résoudre un problème indéterminé. S’il ne faut qu’une droite pour construire l’équation du probleme, le lieu s’appelle alors lieu à la ligne droite ; s’il ne faut qu’un cercle, lieu au cercle ; s’il ne faut qu’une parabole, lieu à la parabole ; s’il ne faut qu’une ellipse, lieu à l’ellipse, & ainsi des autres, &c.

Les anciens nommoient lieux plans, les lieux des équations qui se réduisent à des droites ou à des cercles ; & lieux solides ceux qui sont ou des paraboles, ou des hyperboles, ou des ellipses.

M. Wolf donne une autre définition des lieux, & il les range en différens ordres, selon le nombre de dimensions auxquelles la quantité indéterminée s’éleve dans l’équation. Ainsi ce sera un lieu du premier ordre, si l’équation est $\scriptstyle x={\frac {ay}{c}}$ ; un lieu du second ordre, si c’est $\scriptstyle y^{2}=ax$, ou $\scriptstyle y^{2}=a^{2}-x^{2}$, &c. un lieu du troisieme, si on a pour équation $\scriptstyle y^{3}=a^{2}x$, ou $\scriptstyle y^{3}=ax^{2}-x^{3}$… &c.

Pour mieux concevoir la nature des lieux géométriques, supposons deux droites inconnues & variables AP, PM (Pl. d’analyse, fig. 29, 30), qui fassent entre elles un angle donné quelconque. APM, dont nous nommerons l’une, par exemple AP, qui a son origine fixe en A, & qui s’etend indéfiniment dans une direction donnée, x, & l’autre PM, qui change continuellement de position & de grandeur, mais qui reste toujours parallele à elle-même, y. Supposons de plus une équation qui ne contienne d’inconnues que ces deux quantités x, y, mêlées avec des quantités connues, & qui exprime le rapport de la variable AP, x, à la valeur de PM, ou de l’y correspondante ; enfin imaginons qu’a l’extrémité de chaque valeur possible de x, on ait tracé en effet l’y correspondante que cette équation détermine ; la ligne droite ou courbe qui passera par les extrémités de toutes les y ainsi tracées, ou par tous les points M, sera nommée en général lieu géométrique, & lieu de l’équation proposée en particulier.

Toutes les équations dont les lieux sont du premier ordre peuvent se réduire à quelqu’une des quatre formules suivantes : 1^o . $\scriptstyle y={\frac {bx}{a}}$ : 2^o . $\scriptstyle y={\frac {bx}{a}}+c$ : 3^o . $\scriptstyle y={\frac {bx}{a}}-c$ : 4^o . $\scriptstyle y=c-{\frac {bx}{a}}$, dans lesquelles la quantité inconnue y est supposée toûjours avoir été délivrée de fractions, la traction qui multiplie l’autre inconnue x est supposée réduite à cette expression $\scriptstyle {\frac {b}{a}}$ ; & tous les autres termes sont comme censés réduits à celui $\scriptstyle +c$. Le lieu de la premiere formule est d’abord déterminé, puisqu’il est évident que c’est une droite qui coupe l’axe dans son origine A, & qui fait avec lui un angle tel que les deux inconnues x, y soient toûjours entre elles comme a est à b. Or supposant ce premier lieu connu, il faudra pour trouver celui de la seconde formule $\scriptstyle y={\frac {bx}{a}}+c$, prendre d’abord sur la ligne AP (fig. 31.), une partie AB = a, & tirer BE = b & AD = c paralleles à PM. Vous tirerez ensuite du même côté que AP &

vers E la ligne AE d’une longueur indéfinie, & la ligne droite & indéfinie DM parallele à AE ; je dis que la ligne DM est le lieu de l’équation, ou la formule que nous voulions construire. Car si par un point quelconque M de cette ligne, on tire MP parallele à AQ, les triangles ABE, APF, seront semblables ; ce qui donnera $\scriptstyle AB,a,BE,b{\text{ :: }}AP$, $\scriptstyle x.PF={\frac {bx}{a}}$, & par conséquent $\scriptstyle Pm(y)=PF({\frac {bc}{a}})+FM(c)$. Si on fait $\scriptstyle c=0$, c’est à-dire si les points DA tombent l’un sur l’autre, & DM sur AF, la ligne AF sera alors le lieu de l’équation $\scriptstyle y={\frac {bx}{a}}$. Pour trouver le lieu de la troisieme formule, il faudra s’y prendre de cette sorte : vous ferez $\scriptstyle AB=a$ (fig. 32.) & vous tirerez les droites $\scriptstyle BE=b$, $\scriptstyle AD=c$ paralleles à PM, l’une de l’un des côtés de AP, & l’autre de l’autre côté : par les points A, E, vous tirerez la droite AE, que vous prolongerez indéfiniment vers E, & par le point D la ligne DM, parallele à AE, je dis que la droite indéfinie GM sera le lieu cherché. Car nous aurons toûjours $\scriptstyle PM(y)=PF$, $\scriptstyle ({\frac {bx}{a}})-FM(c)$. Enfin pour trouver le lieu de la quatrieme formule, sur AP (fig. 33.), vous prendrez AB = a, & vous tirerez BE = b, & AD = c, l’une d’un des côtés de AP, & l’autre de l’autre côté. De plus, par les points A, E, vous tirerez AE, que vous prolongerez indéfiniment vers E, & par le point D la ligne DM parallele à AE, je dis que DG sera le lieu cherché. Car si par un de ses points quelconques M on tire la ligne MP parallele à AQ, on aura toûjours $\scriptstyle PM(y)=FM(c)-PF({\frac {bc}{a}})$.

Il s’ensuit de là qu’il n’y a de lieu du premier degré que les seules lignes droites ; ce qui peut se voir facilement, puisque toutes les équations possibles du premier degré se réduisent à l’une des formules précédentes.

Tous les lieux du second degré ne peuvent être que des sections coniques, savoir la parabole, l’ellipse ou le cercle, qui est une espece d’ellipse, & l’hyperbole, qui dans certains cas devient équilatere : si on suppose donc donnée une équation indéterminée, dont le lieu soit du second degré, & qu’on demande de décrire la section conique qui en est le lieu ; il faudra commencer par considérer une parabole, une ellipse & une hyperbole quelconque, en la rapportant à des droites ou des coordonnées, telles que l’équation qui en exprimera la nature, se trouve être par là la plus composée & la plus générale qu’il soit possible. Ces équations les plus générales, ou ces formules des trois sections coniques & de leurs subdivisions étant découvertes, & en ayant examiné les caracteres, il sera aisé de conclure à laquelle d’entr’elles se rapportera l’équation proposée, c’est-à dire quelle section conique cette même équation aura pour lieu. Il ne s’agira plus après cela que de comparer tous les termes de l’équation proposée avec ceux de l’équation générale du lieu, auquel on aura trouvé que cette équation se rapporte, cela déterminera les coefficiens de cette équation générale, ou ce qui est la même chose, les droites qui doivent être données de proportion & de grandeur pour décrire le lieu ; & ces coefficiens ou ces droites étant une fois déterminées, on décrira facilement le lieu, par les moyens que les traités des sections coniques fournissent.

Par exemple que AP, x, PM, y soient deux droites inconnues & variables (fig. 34) ; & que m, p, r, s, soient des droites données ; sur la ligne AP, prenez la portion AB = m, & tirez BE = n, AD = r ; & par le point A, tirez AE = e, & par le point D, la ligne indéfinie DG parallelle à AE ;