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plomb, l’étain, le cuir, le charbon, le houblon, le lin, le chanvre, les chapeaux, la bierre, le poisson, les montres, les rubans.

Les seuls ouvrages de laine qu’on transporte tous les ans, sont évalués à deux millions de livres sterl. & le plomb, l’étain & le charbon, à 500000 livres sterl. Voyez Laine.

La laine, la terre à dégraisser, &c. sont des marchandises de contrebande, c’est-à-dire qu’il est défendu de transporter. Voyez Commerce & Contrebande. Pour les droits de sortie, voyez Impôt, Droits, &c. Chambers.

EXPOSANT, s. m. (Algebre.) Ce terme a différentes acceptions selon les différens objets auxquels on le rapporte. On dit, l’exposant d’une raison, l’exposant du rang d’un terme dans une suite, l’exposant d’une puissance.

L’exposant d’une raison (il faut entendre la géométrique, car dans l’Arithmétique ce qu’on pourroit appeller de ce nom, prend plus particulierement celui de différence) : l’exposant donc d’une raison géométrique est le quotient de la division du conséquent par l’antécédent. Ainsi dans la raison de 2 à 8, l’exposant est $\scriptstyle {\frac {8}{2}}=4$ ; dans celle de 8 à 2, l’exposant est $\scriptstyle {\frac {2}{8}}={\frac {1}{4}}$, &c. Voyez Proportion.

C’est l’égalité des exposans de deux raisons qui les rend elles-mêmes égales, & qui établit entr’elles ce qu’on appelle proportion. Chaque conséquent est alors le produit de son antécédent par l’exposant commun. Il semble donc, pour le dire en passant, qu’ayant à trouver le quatrieme terme d’une proportion géométrique, au lieu du circuit qu’on prend ordinairement, il seroit plus simple de multiplier directement le troisieme terme par l’exposant de la premiere raison, au moins quand celui-ci est un nombre entier. Par exemple, dans la proportion commencée 8.24∷17.*, le quatrieme terme se trouveroit tout-d’un-coup, en multipliant 17 par l’exposant 3 de la premiere raison ; au lieu qu’on prescrit de multiplier 24 par 17, & puis de diviser le produit par 8. Il est vrai que les deux méthodes exigent également deux opérations, puisque la recherche de l’exposant suppose elle-même une division ; mais dans celle qu’on propose, ces deux opérations, s’exécutant sur des termes moins composés, en seroient plus courtes & plus faciles. Voyez Regle de Trois.

L’exposant du rang est, comme cela s’entend assez, le nombre qui exprime le quantieme est un terme dans une suite quelconque. On dira, par exemple, que 7 est l’exposant du rang du terme 13 dans la suite des impairs ; que celui de tout autre terme T de la même suite est $\scriptstyle {\frac {T+1}{2}}$ ; & plus généralement que l’exposant du rang d’un terme pris où l’on voudra dans une progression arithmétique quelconque, dont le premier terme est désigné par p, & la difference par d, est $\scriptstyle {\frac {T-p}{d}}+1$.

On nomme exposant, par rapport à une puissance, un chiffre (en caractere minuscule) qu’on place à la droite & un peu au-dessus d’une quantité, soit numérique, soit algébrique, pour désigner le nom de la puissance à laquelle on veut faire entendre qu’elle est élevée. Dans $\scriptstyle a^{4}$, par exemple, 4 est l’exposant qui marque que a est supposé élevé à la quatrieme puissance.

Souvent, au lieu d’un chiffre, on employe une lettre ; & c’est ce qu’on appelle exposant indéterminé. $\scriptstyle a^{n}$ est a élevé à une puissance quelconque désignée par n. Dans $\scriptstyle {\sqrt[{n}]{a}}$, n désigne le nom de la racine qu’on suppose extraite de la grandeur a, &c.

Autrefois, pour représenter la quatrieme puissance de a, on écrivoit aaaa ; expression incommode, & pour l’auteur, & pour le lecteur, sur-tout lorsqu’il

s’agissoit de puissances fort élevées. Descartes vint, qui à cette répétition fastidieuse de la même racine substitua la racine simple, surmontée vers la droite de ce chiffre qu’on nomme exposant, lequel annonce au premier coup-d’œil combien de fois elle est censée répétée après elle-même.

Outre l’avantage de la briéveté & de la netteté, cette expression a encore celui de faciliter extrèmement le calcul des puissances de la même racine, en le réduisant à celui de leurs exposans, lesquels pouvant d’ailleurs être pris pour les logarithmes des puissances auxquelles ils se rapportent, les font participer aux commodités du calcul logarithmique. Dans l’exposé qui va suivre du calcul des exposans des puissances, nous aurons soin de ramener chaque résultat à l’expression de l’ancienne méthode, comme pour servir à la nouvelle de démonstration provisionnelle ; renvoyant pour une démonstration plus en forme à l’article Logarithme, qui est en droit de la revendiquer.

Multiplication. Faut-il multiplier $\scriptstyle a^{m}$ par $\scriptstyle a^{n}$ ? On fait la somme des deux exposans, & l’on écrit $\scriptstyle a^{m+n}$. En effet que $\scriptstyle m=3$, & $\scriptstyle n=2$ ; $\scriptstyle a^{m+n}=a{3+2}=a^{5}=aaaaa=aaa\times aa$.

Division. Pour diviser $\scriptstyle a^{m}$ par $\scriptstyle a^{n}$, on prend la différence des deux exposans, & l’on écrit $\scriptstyle a^{m-n}$. En effet que $\scriptstyle m=5$, & $\scriptstyle n=2$ ; $\scriptstyle a^{m-n}=a^{5-2}=a^{3}=aaa={\frac {aaaaa}{aa}}$.

Si $\scriptstyle n=m$, l’exposant réduit devient 0, & le quotient est $\scriptstyle a^{0}=1$ ; car (au lieu de n, substituant m qui lui est égale par supposition) $\scriptstyle a^{0}=a^{m-m}={\frac {a^{m}}{a^{m}}}=1$.

Si $\scriptstyle n>m$, l’exposant du quotient sera négatif. Par exemple, que $\scriptstyle m=2$, & $\scriptstyle n=5$ ; $\scriptstyle a^{m-n}=a^{2-5}=a^{-3}$. Mais qu’est-ce que $\scriptstyle a^{-3}$ ? Pour le savoir, interrogeons l’ancienne méthode. $\scriptstyle a^{-3}$ est donné pour l’expression de $\scriptstyle {\frac {aa}{aaaaa}}={\frac {1}{aaa}}={\frac {1}{a^{3}}}$. Ce qui fait voir qu’une puissance négative équivaut à une fraction, dont le numérateur étant l’unité, le dénominateur est cette puissance même devenue positive : comme réciproquement une puissance positive équivaut à une fraction, dont le numérateur est encore l’unité, & le dénominateur cette même puissance devenue négative. En général $\scriptstyle a^{\pm n}={\frac {1}{a\mp m}}$. On peut donc sans inconvénient substituer l’une de ces deux expressions à l’autre : ce qui a quelquefois son utilité.

Elévation. Pour élever $\scriptstyle a^{m}$ à la puissance dont l’exposant est n, on fait le produit des deux exposans, & l’on écrit $\scriptstyle a^{m\times n}$… En effet que $\scriptstyle m=2$, & $\scriptstyle n=3$ ; $\scriptstyle a^{m\times n}=a^{2\times 3}=a^{6}=aaaaaa=aa\times aa\times aa$.

Extraction. Comme cette opération est le contraire de la précédente ; pour extraire la racine n de $\scriptstyle a^{m}$, on voit qu’il faut diviser m par n, & écrire $\scriptstyle a^{\frac {m}{n}}$. En effet que $\scriptstyle m=6$, & $\scriptstyle n=3$ ; $\scriptstyle a^{\frac {m}{n}}=a^{\frac {6}{3}}=a^{2}=aa={\sqrt[{3}]{aaaaaa}}$.

On peut donc bannir du calcul les signes radicaux qui y jettent souvent tant d’embarras, & traiter les grandeurs qu’ils affectent comme des puissances, dont les exposans sont des nombres rompus. Car $\scriptstyle {\sqrt[{n}]{a}}=a^{\frac {1}{n}}$, $\scriptstyle {\sqrt[{n}]{a^{-m}}}=a^{\frac {-m}{n}}$, &c.

On ne dit rien de l’addition, ni de la soustraction ;