du même nombre en deux échelles autres que l’usuelle, avec la racine b de la premiere, trouver la racine de la seconde.
Solution commune. Si dans l’un & dans l’autre cas on réduit (par le problème II.) l’expression A à l’échelle usuelle, le problème IV. ne sera plus que le premier, ni le problème V. que le troisieme.
Exemple pour le problème 4. Un nombre exprimé par 16053 dans l’échelle septenaire, comment le sera-t-il dans la duodénaire ?
16053 réduit (problème 2.) à l’échelle usuelle, devient 4497 ; puis cherchant (problème 1.) l’expression de 4497 dans l’échelle duodénaire, on trouve 2729.
Exemple pour le problème 5. Le même nombre qui est exprimé par 16053 dans l’échelle septenaire, l’est par 2729 dans une autre échelle : quelle est la racine de cette seconde échelle ?
16053 réduit à l’échelle usuelle, devient 4497 ; puis opérant (problème 3.) sur 4497 & sur 2729, on trouve 12 pour la racine de la seconde échelle.
* Echelle, (Anatomie.) il se dit des deux rampes ou contours du limaçon. Voyez Limaçon.
Echelle, c’est en Musique, le nom qu’on a donné à la succession diatonique de sept notes, ut, ré, mi, fa, sol, la, si ; parce que ces notes se trouvent rangées en maniere d’échelons sur les portées de la Musique.
Cette énumération de tous les sons de notre système rangés par ordre, que nous appellons échelle, les Grecs pour le leur l’appelloient diagramme. On peut voir au mot Système, le diagramme complet de toute la Musique ancienne.
S. Grégoire fut le premier qui changea les tétracordes des anciens en un eptacorde, ou succession de sept notes ; au bout desquelles commençant une autre octave, on trouve les mêmes sons répétés dans le même ordre. Cette découverte est très-belle ; & il est singulier que les Grecs qui voyoient fort bien les propriétés de l’octave, ayent crû malgré cela devoir rester attachés à leurs tétracordes. Grégoire exprima ces sept notes avec les sept premieres lettres de l’alphabet latin ; Guy Aretin donna d’autres noms aux six premieres : mais il négligea d’en donner un à la septieme note, qu’en France nous avons depuis appellée si, & qui n’a point encore d’autre nom que b chez la plûpart des peuples de l’Europe. Voyez Gamme.
Il ne faut pas croire que les rapports des tons & semi tons dont l’échelle est composée, soient des choses arbitraires, & qu’on eût pû par d’autres divisions donner aux sons de cette échelle un ordre & des rapports différens, sans diminuer la perfection du système. Notre système est le meilleur, parce qu’il est engendré par les consonnances & par les différences qui sont entr’elles. « Que l’on ait entendu plusieurs fois, dit M. Sauveur, l’accord de la quinte & celui de la quarte, on est porté naturellement à imaginer la différence qui est entre eux ; elle s’unit & se lie avec eux dans notre esprit, & participe à leur agrément : voilà le ton majeur. Il en va de même du ton mineur, qui est la différence de la tierce mineure à la quarte, & du semi-ton majeur qui est celle de la même quarte à la tierce majeu-
Or le ton majeur, le ton mineur, & le semi-ton majeur, voilà les degrés diatoniques dont notre échelle est composée selon les rapports suivans.
| ton majeur. |
ton mineur. |
semi- ton majeur. |
ton majeur. |
ton mineur. |
ton majeur. |
semi- ton majeur. | ||||||||||||||
| Ut, | ré, | mi, | fa, | sol, | la, | si, | ut. | |||||||||||||
Pour servir de preuve à ce calcul, il ne faut que composer tous ces rapports, & l’on trouvera le rapport total en raison double, c’est-à-dire, comme un est à deux : ce qui est en effet le rapport exact des deux termes extrèmes, ou de l’ut à son octave.
L’échelle dont nous venons de parler, est celle qu’on nomme naturelle ou diatonique ; mais les modernes divisant ses degrés en d’autres intervalles plus petits, en ont tiré une autre échelle qu’ils ont appellée échelle semi-tonique ou chromatique ; parce qu’elle procede par semi-tons.
Pour former cette échelle, on n’a fait que partager en deux intervalles égaux chacun des cinq tons entiers de l’octave ; ce qui, avec les deux semi-tons qui s’y trouvoient déjà, fait une succession de douze semi-tons sur treize, d’une octave à l’autre.
L’usage de cette échelle est de donner les moyens de moduler sur telle note qu’on veut choisir pour fondamentale, & de pouvoir faire sur cette note un intervalle quelconque. Tant qu’on s’est contenté d’établir pour tonique une note de la gamme à volonté, sans s’embarrasser si les sons par lesquels devoit passer la modulation, étoient avec cette note dans les rapports convenables, l’échelle semi-tonique étoit peu nécessaire ; quelque fa dièse, quelque si bémol, composoient tout ce qu’on appelloit les feintes d. la Musique : c’étoient seulement deux touches à ajoûter au clavier diatonique. Mais depuis qu’on a crû sentir la nécessité d’établir entre les divers tons une similitude parfaite, il a fallu trouver des moyens de transporter les mêmes chants & les mêmes intervalles, plus haut & plus bas, selon le ton qu’on choisissoit. L’échelle chromatique est donc devenue d’une nécessité indispensable, & c’est par son moyen qu’on porte un chant sur tel degré du clavier que l’on veut choisir, & qu’on le rend exactement, sur cette nouvelle position, tel qu’il peut avoir été imaginé sur une autre.
Ces cinq sons ajoûtés ne forment pas dans la Musique de nouveaux degrés : mais ils se marquent tous sur le degré le plus voisin par un bémol, si ce degré est plus haut ; par un dièse, s’il est plus bas ; & la note prend toûjours le nom du degré où elle est placée. Voyez Bémol & Dièse.
Pour assigner maintenant les rapports de ces nouveaux intervalles, il faut savoir que les deux parties ou semi-tons qui composent le ton majeur, sont dans les rapports de 15 à 16, & de 128 à 135 ; & que les deux qui composent aussi le ton mineur, sont dans les rapports de 15 à 16, & de 24 à 25 : de sorte qu’en divisant toute l’octave selon l’échelle semi-tonique,
on en a tous les termes dans les rapports suivans.| semi- ton majeur. |
maxime. | majeur. | mineur. | majeur. | maxime. | majeur. | majeur. | mineur. | majeur. | maxime. | majeur. | ||||||||||||||||||||||||
| Ut, | ut♯, | ré, | mi♭, | mi, | fa, | fa♯, | sol, | sol♯, | la, | si♭, | si, | ut. | |||||||||||||||||||||||
