égales sont appellées ordonnées ; & le point de la courbe où passe le diametre est nommé sommet ; de même si dans une courbe du second genre on tire deux lignes droites paralleles qui rencontrent la courbe en trois points, une ligne droite qui coupera ces paralleles, de maniere que la somme des deux parties comprises entre la sécante & la courbe d’un même côté, soit égale à l’autre partie comprise entre la sécante & la courbe, coupera, suivant la même loi, toutes les autres lignes qu’on pourra mener parallelement aux deux premieres, & qui seront terminées à la courbe, c’est-à-dire les coupera de maniere que la somme des deux parties d’un même côté sera égale à l’autre partie.
En effet, ayant ordonné l’équation de maniere que sans coefficient soit au premier terme, le second terme sera , & ce second terme contiendra la somme des racines, c’est-à-dire des valeurs de y. Voyez Equation. Or par l’hypothese, il y a deux valeurs de x qui rendent ce second terme = 0, puisqu’il y a deux valeurs de x (hyp.) qui donnent la somme des ordonnées positives égale à la somme des négatives. Donc il y a deux valeurs de x, sçavoir A & B, qui donnent , . Or cela ne peut-être, à moins qu’en général on n’ait , . Donc 0, quelque valeur qu’on suppose à x. Donc le second terme manque dans l’équation. Donc la somme des ordonnées positives est par-tout égale à la somme des ordonnées négatives.
On peut étendre ce théoreme aux degrés plus élevés. Par exemple, dans le quatrieme ordre, le 2d terme étant, c’est encore la même chose, & si deux valeurs de x donnent la somme des ordonnées nulle, toutes les autres valeurs la donneront.
Outre cela, comme dans les sections coniques non paraboliques, le quarré d’une ordonnée, c’est-à-dire le rectangle des ordonnées situées de deux différens côtés du diametre, est au rectangle des parties du diametre terminées aux sommets de l’ellipse ou de l’hyperbole, comme une ligne donnée appellée latus rectum ou parametre, est à la partie du diametre comprise entre les sommets, & appellée latus transversum ; de même dans les courbes du second genre non paraboliques, le parallelépipede sous trois ordonnées est au parallelépipede sous les trois parties du diametre terminées par les sommets & par la rencontre des ordonnées, dans un rapport constant.
Cela est fondé sur ce que le dernier terme de l’équation, savoir , est le produit de toutes les racines ; que ce dernier terme est outre cela le produit de par , & par , & que aux points où , c’est-à-dire où le diametre coupe la courbe, points que l’on appelle ici sommets, on a , , : avec ces propositions on trouvera facilement la démonstration dont il s’agit, ainsi que celle des théorèmes suivans, qui sont aussi tirés de M. Newton.
Comme dans la parabole conique qui n’a qu’un sommet sur un seul & même diametre, le rectangle des ordonnées est égal au produit de la partie du diametre comprise entre le sommet & l’ordonnée, par une ligne constante appellée latus rectum ; de même dans celles des courbes du second genre qui n’ont que deux sommets sur un même & unique diametre, le parallelépipede sous trois ordonnées est égal au parallelépipede sous les deux parties du diametre, comprise entre les sommets & la rencontre de l’ordonnée, & sous une troisieme ligne constante, que l’on peut par conséquent nommer latus rectum. Voyez Parabole.
De plus, dans les sections coniques, si deux
lignes paralleles & terminées à la section, sont coupées par deux autres lignes paralleles & terminées à la section, la premiere par la troisieme & la seconde par la quatrieme, le rectangle des parties de la premiere est au rectangle des parties de la troisieme, comme le rectangle des parties de la seconde est au rectangle des parties de la quatrieme ; de même aussi, si on tire dans une courbe du second genre deux lignes paralleles, terminées à la courbe en trois points, & coupées par deux autres paralleles terminées à la même courbe, chacune en trois points, le parallelépipede des trois parties de la premiere ligne sera à celui des trois parties de la troisieme, comme le parallelépipede des trois parties de la seconde est à celui des trois parties de la quatrieme.
Enfin les branches infinies des courbes du premier & du second genre & des genres plus élevés, sont ou du genre hyperbolique ou du genre parabolique : une branche hyperbolique est celle qui a une asymptote, c’est-à-dire qui s’approche continuellement de quelque ligne droite ; une branche parabolique est celle qui n’a point d’asymptote. Voyez Asymptote & Branche.
Ces branches se peuvent distinguer encore mieux par leurs tangentes. En effet, si le point de contact d’une tangente est supposé infiniment éloigné, la tangente de ce point se confond avec l’asymptote dans une branche hyperbolique ; & dans une branche parabolique, elle s’éloigne à l’infini, & disparoît. On peut donc trouver l’asymptote d’une branche, en cherchant sa tangente à un point infiniment éloigné, & on trouve la direction de cette branche, en cherchant la position d’une ligne droite parallele à la tangente, lorsque le point de contact est infiniment éloigné ; car la direction de la branche infinie à son extrémité est parallele à celle de cette ligne droite.
Les lignes d’un ordre impair, par exemple du troisieme, du cinquieme, ont nécessairement quelques branches infinies ; car on peut toûjours par une transformation d’axes, s’il est nécessaire, préparer l’équation, ensorte que l’une au moins des coordonnées se trouve élevée à une puissance impaire dans l’équation ; elle aura donc toûjours au moins une valeur réelle, quelque valeur qu’on suppose à l’autre coordonnée. Donc, &c.
Nous avons dit plus haut que dans une ligne courbe d’un genre quelconque, on peut toûjours imaginer l’axe tellement placé, que la somme des ordonnées d’une part soit égale à la somme des ordonnées de l’autre. L’axe en ce cas s’appelle ordinairement diametre. Il est évident que toute courbe en a une infinité ; car ayant transformé les axes d’une maniere quelconque, on peut toûjours supposer cette transformation telle que le second terme de la transformée manque, & en ce cas l’un des axes sera diametre.
On appelle diametre absolu celui qui divise les ordonnées en deux également ; tels sont ceux des sections coniques.
M. de Bragelongne appelle contre-diametre un axe des abscisses, tel que les abscisses opposées égales ayent des ordonnées opposées égales ; c’est-à-dire, tel que x négative donne y négative, sans changer d’ailleurs de valeur.
Ceci nous conduit naturellement à parler des centres, dont nous avons déja dit un mot plus haut. Pour qu’une courbe ait un centre, il faut qu’en supposant l’origine placée dans ce centre, & prenant deux x opposées & égales, les y correspondantes soient aussi opposées & égales ; c’est-à-dire il faut que faisant x négative dans l’équation, on trouve pour y la même valeur, mais négative. L’équation doit donc être telle par rapport à x & à y, qu’en changeant les si-
