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des ; en quoi ils se trompent grossierement, ces deux problêmes n’ayant aucun rapport.

Plusieurs géometres ont approché fort près de ce rapport. Archimede paroît avoir été un des premiers qui ont tenté de la decouvrir, & a trouvé par le moyen des polygones réguliers de 96 côtés inscrits & circonscrits au cercle, que ce rapport est comme 7 à 22. Voyez Polygone.

Quelques-uns des modernes ont approché beaucoup plus près, sur-tout Ludolphe de Ceulen qui a trouvé après des calculs infinis, qu’en supposant que ce diametre soit 1, la circonference est plus petite que 3. 14159265358979323846264338387950 ; mais plus grande que ce même nombre en mettant l’unité pour dernier chifre.

Les géometres ont encore eu recours à d’autres moyens, sur-tout à des especes de courbes particulieres qu’on appelle quadratrices ; mais comme ces courbes sont méchaniques ou transcendantes, & non point géométriques, elle ne satisfait point exactement à la solution du problème. Voyez Transcendant, Méchanisme & Quadratrice.

On a donc employé à l’analyse, & tenté de resoudre ce problème par plusieurs méthodes différentes, & principalement en employant certaines séries qui donnent la quadrature approchée du cercle par une progression de termes. Voyez Série ou Suite.

En cherchant par exemple une ligne droite égale à la circonférence d’un cercle, on trouve en supposant pour le diametre, que la circonférence doit être $\scriptstyle {\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}{\frac {+4}{9}}$ &c. qui forment une suite infinie de fractions dont le numérateur est toujours 4, & dont les dénominateurs sont dans la suite naturelle des nombres inégaux ; & tous ces termes sont alternativement trop grands & trop petits.

Si l’on pouvoit trouver la somme de cette suite, on auroit la quadrature du cercle ; mais on ne l’a point encore trouvée, & il y a même apparence qu’on ne la découvrira de long-tems. On n’a point cependant démontré que la chose soit impossible, ni par conséquent que la quadrature du cercle le soit aussi.

D’ailleurs comme on peut exprimer la même grandeur par différentes séries, il peut se faire aussi que l’on puisse exprimer la circonférence d’un cercle par quelque autre série dont on puisse trouver la somme. Nous avons deux suites infinies qui expriment la raison de la circonférence au diametre, quoique d’une maniere indéfinie. La premiere a été découverte par M. Newton, qui a trouvé, en supposant pour le rayon, que le quart de la circonférence est $\scriptstyle 1-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{40}}-{\frac {1}{112}}$, &c. La seconde est de M. Léibnitz, qui trouve de même que le rayon étant l’arc de 45 degrés, est la moitié de $\scriptstyle 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}$, &c. Voici la maniere de trouver chacune de ces séries par le calcul intégral ; on la doit à M. Newton.

Quadrature du cercle par M. Newton. Soit le rayon du cercle $\scriptstyle AC=1$ (Planch. d’anal. fig. 24.) $\scriptstyle CP=x$, $\scriptstyle y={\sqrt {(}}{1-x^{2}})$, & $\scriptstyle {\sqrt {(}}{1-x^{2}})=1-{\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{8}}x^{4}-{\frac {1}{16}}x^{6}-{\frac {1}{128}}x^{8}-{\frac {1}{256}}x^{1}0$, &c. à l’infini. Voyez Binome. Donc $\scriptstyle PpmMouudx=dx-{\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{8}}x^{4}dx-{\frac {1}{16}}x^{6}dx-{\frac {1}{128}}x^{8}dx-{\frac {1}{256}}x^{1}0dx-$ &c, à l’infini.

Et $\scriptstyle sydx=x-{\frac {1}{6}}x^{3}-{\frac {1}{40}}x^{5}-{\frac {1}{112}}x^{7}-{\frac {1}{1152}}x^{9}-{\frac {1}{1816}}x^{1}1$ à l’infini.

Lorsque x devient égal au rayon CA, l’espace DCPM se change en un quart de cercle. Substituant donc 1 à x, le quart de cercle sera $\scriptstyle sydx=1-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{40}}-{\frac {1}{112}}-{\frac {1}{1152}}-{\frac {1}{1816}}$, &c. à l’infini. Cette même série peut servir à mesurer la surface entiere du cercle, en supposant son diametre = 1.

Quadrature du cercle par M. Léibnitz. Soit la tangente KB (Pl. d’analyse fig. 25.) = x, BC = 1 ; la secante AC infiniment proche de CK ; décrivez avec le rayon CK le petit arc KL : vous aurez AK = dx,

$\scriptstyle KC={\sqrt {(}}{1+x^{2}})$. Maintenant puisque les angles B & L sont droits, & l’angle BKC = KAC, à cause de la petitesse infinie de l’angle KCL, nous aurons KC : BC :: KAKL, c’est-à-dire

$\scriptstyle {\sqrt {(1+x^{2})}}:1::dx:{\frac {dx}{\sqrt {(1+x^{2})}}}$

De plus, CK : KL :: CM : mM ; c’est-à-dire

$\scriptstyle {\sqrt {(1+x^{2})}}$ : $\scriptstyle {\frac {dx}{\sqrt {(1+x^{2})}}}$ :: 1 :: $\scriptstyle {\frac {dx}{1+x^{2}}}$

Donc le secteur $\scriptstyle CMm={\frac {1}{2dx}}:(1+x^{2})={\frac {1}{2}}(dx-x^{2}dx+x^{4}dx-x^{6}dx+x^{8}dx-x^{10})$ &c. & l’on trouve, par le calcul intégral, le secteur BCM (dont la tangente KB est x) $\scriptstyle {\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6}}x^{3}+{\frac {1}{10}}x^{5}-{\frac {1}{14}}x^{7}+{\frac {1}{18}}x^{9}-{\frac {1}{22}}x^{1}2$ &c. & ainsi à l’infini. C’est pourquoi si BM est la huitieme partie du cercle ou un arc de 45^d. le secteur sera $\scriptstyle {\frac {1}{2}}{\frac {-1}{6}}+{\frac {1}{2}}{\frac {-1}{14}}$ &c. à l’infini. Donc le double de cette série $\scriptstyle 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-{\frac {1}{11}}$ &c. à l’infini, est le quart de cercle.

Quadrature des lunules. Quoiqu’on n’ait point encore trouvé jusqu’ici la quadrature parfaite du cercle entier, on a cependant découvert les moyens de quarrer plusieurs de ses portions. Hippocrate de Chio est le premier qui ait quarré une portion du cercle à qui sa figure a fait donner le nom de lunule. Voyez Lunule.

Cette quadrature ne dépend point de celle du cercle ; mais aussi ne s’étend-elle que sur la lunule entiere ou sur sa moitié.

Quelques géometres modernes ont cependant trouvé la quadrature d’une portion de la lunule à volonté, indépendamment de celle du cercle ; mais elle est toujours sujette à certaine restriction, qui empêche que la quadrature ne soit parfaite, ou, pour me servir du langage des Géometres, absolue & indéfinie.

M. le Marquis de l’Hopital a donné en 1701 une nouvelle maniere de quarrer les parties de la lunule prises en différentes manieres & sous différentes conditions ; mais elle est sujette aux mêmes imperfections que les autres.

Quadrature de l’ellipse. L’ellipse est une courbe dont on n’a point encore trouvé la quadrature exacte ; ce qui oblige d’avoir recours à une série. Soit AC (Planc. anal. fig. 26.) = a, GC = C, PC = x, on aura

$\scriptstyle y^{2}=c^{2}({a^{2}-x^{2}}):a^{2}$

---

$\scriptstyle y=c{\sqrt {(}}{x^{2}-x^{2})}):a$

mais $\scriptstyle {\sqrt {(}}{a^{2}-x^{2}})=a-{\frac {x^{2}-x^{4}-x^{6}+5x^{8}-7x^{1}0}{2a\ 8a^{3}\ 16a^{5}\ 128a^{7}\ 256a^{9}}}$ < à l’infini. Donc $\scriptstyle ydx=cdx\times {\frac {cx^{2}dx}{2a^{2}}}-{\frac {cx^{4}dx}{8a^{4}}}-{\frac {cx^{6}dx}{16x^{6}}}-{\frac {5dx^{8}cv}{128a^{2}}}-{\frac {7cx^{1}0dx}{256a^{1}0}}$, &c. à l’infini.

Si l’on substitue a au lieu de x, le quart de l’ellipse sera $\scriptstyle ac-{\frac {1}{6}}ac-{\frac {1}{40}}ac-{\frac {5}{112}}ac-{\frac {5}{1132}}ac-{\frac {7}{1810}}ac$, &c. à l’infini.

Il suit de là 1°. que si on fait $\scriptstyle {\sqrt {a}}c=1$, l’aire de l’ellipse sera $\scriptstyle -{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{40}}-{\frac {1}{112}}-{\frac {5}{1152}}-{\frac {7}{1810}}$, &c. à l’infini. D’où il est évident qu’une ellipse est égale à un cercle dont le diametre est moyen proportionnel entre les axes conjugués de cette même ellipse. 2°. Qu’une ellipse est à un cercle dont le diametre est égal au grand axe, comme ac à a² ; c’est à-dire comme c à a, ou comme le petit axe est au grand. D’où il suit que la quadrature du cercle donne celle de l’ellipse ; & au contraire.

Quadrature de la parabole. Soit $\scriptstyle ax=y^{2}$ l’équation de la parabole, donc $\scriptstyle y={\sqrt {a}}x=a^{\frac {1}{2}}x^{\frac {1}{2}}$ : donc $\scriptstyle ydx=axdx$. Donc $\scriptstyle sydx={\frac {1}{2}}a^{1:2}x^{3:1}={\frac {1}{3}}{\sqrt {ax^{3}={\frac {1}{3}}xy}}$.

D’où il suit que l’espace parabolique est au rectangle de la demi-ordonnée par l’abscisse comme $\scriptstyle {\frac {2}{3}}xy$ à xy, c’est-à-dire comme 2 à 3.