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que d’une très-petite quantité de la valeur exacte de la racine cherchée. Il en est de même de la racine cubique d’un nombre qui n’est pas un cube parfait, & ainsi des autres puissances, comme on peut voir dans les Transact. phil. n°. 215.

La méthode la plus simple & la plus facile d’approcher de la racine d’un nombre, est celle-ci : je suppose, par exemple qu’on veuille tirer la racine quarrée de 2 ; au lieu de 2, j’écris la fraction $\scriptstyle {\frac {20000}{10000}}$, qui lui est égale, ayant soin que le dénominateur 10000 soit un nombre quarré, c’est-à-dire, renferme un nombre pair de zeros ; ensuite je tire la racine quarrée du numérateur 20000 ; cette racine, que je peux avoir à une unité près, étant divisée par 100, qui est la racine du dénominateur, j’aurai à $\scriptstyle {\frac {1}{100}}$ près la racine de $\scriptstyle {\frac {20000}{10000}}$, c’est-à-dire, de 2.

Si on vouloit avoir la racine plus approchée, il faudroit écrire $\scriptstyle {\frac {2000000}{1000000}}$, & on auroit la racine à $\scriptstyle {\frac {1}{1000}}$ près, &c. de même pour avoir la racine cubique de 2, il faudroit écrire $\scriptstyle {\frac {2000000}{1000000}}$, 1000000 étant un nombre cubique, & on auroit la racine à $\scriptstyle {\frac {1}{1000}}$ près, & ainsi à l’infini.

Soit $\scriptstyle aa+b$ un nombre quelconque qui ne soit pas un quarré parfait, & $\scriptstyle a^{3}+b$ un nombre quelconque qui ne soit pas un cube parfait. Soit $\scriptstyle aa$ le plus grand quarré parfait contenu dans le premier de ces nombres. Soit $\scriptstyle a^{3}$, le plus grand cube parfait contenu dans le second de ces nombres, on aura $\scriptstyle {\sqrt {aa+b}}=a+{\frac {b}{2a}}-{\frac {3bb}{8a^{3}}}$ &c. & $\scriptstyle {\sqrt[{3}]{a^{3}+b}}=a+{\frac {b}{3a^{2}}}-{\frac {bb}{9a^{5}}}$ &c. Voyez Binome. A l’aide de ces équations, on aura facilement des expressions fort approchées des racines quarrées & cubiques que l’on cherchera.

Soit proposé d’avoir la racine d’une équation par Approximation, 1°. d’une équation du second degré. Soit l’équation donnée du second degré dont il faut avoir la racine par approximation, $\scriptstyle x^{2}-5x-31=0$ ; on suppose que l’on sache déja que la racine est à peu-près à ; ce que l’on peut trouver aisément par différentes méthodes dont plusieurs sont exposées dans le VI^e livre de l’Analyse démontrée du P. Reyneau.

Soit 8+y la racine de l’équation proposée, ensorte que y soit une fraction égale à la quantité dont 8 est plus grand ou plus petit que la racine cherchée, on aura donc

$\scriptstyle x^{2}=64+16y+y^{2}$

$\scriptstyle -5x=-40-5y$

$\scriptstyle -31=-31.$

$\scriptstyle -7+11y+y^{2}=0.$

Or comme une fraction devient d’autant plus petite que la puissance à laquelle elle se trouve élevée est grande, & que nous ne nous proposons que d’avoir une valeur approchée de la racine de l’équation, nous négligerons le terme y² ; & la derniere équation se réduira à

$\scriptstyle -7+11y=0$

$\scriptstyle y={\frac {7}{11}}={\frac {6}{10}}$ à peu-près$\scriptstyle =0.6$.

Donc $\scriptstyle x=8+0.6=8.6$.

Soit encore $\scriptstyle x=8.6+y$, on aura

$\scriptstyle x^{2}={\frac {7396}{100}}+{\frac {172}{10y}}+y^{2}$

$\scriptstyle -5x=-{\frac {430}{10}}-5y$

$\scriptstyle -31=-31.$

$\scriptstyle {\frac {7396}{100}}-{\frac {430}{10}}-31+{\frac {172}{10y}}-5y=0.$

Réduisant les fractions au même dénominateur, on aura l’équation suivante :

$\scriptstyle 73.96-4300-3100+(1720-500)y=0$

$\scriptstyle -0.04+1220y=0.$

$\scriptstyle 12.20y=0.04.$

$\scriptstyle y=004:12.20=0.0032.$

Donc $\scriptstyle x=8.6000+0.0032=8.6032.$

Soit encore $\scriptstyle x=8.6032+y$ : on aura

$\scriptstyle x^{2}=7401505024+17.206400007+y^{2}$

$\scriptstyle -5x=-43.01600000-500000000$

$\scriptstyle -31=-31.00000000.$

$\scriptstyle -0.000094976-12.20640000y=0.$

$\scriptstyle y=0.000094976:12.20640000y=0.000077808.$

Donc $\scriptstyle x=8.6032000000+0.0000076808$

Donc $\scriptstyle x$$\scriptstyle =8.603277808.$

Soit maintenant cette équation du troisieme degré, dont il faut chercher la racine par approximation, $\scriptstyle x^{3}+2x^{2}-23x-70=0$, & dont on suppose que l’on sache à peu-près la valeur de la racine, par exemple 5.

Soit donc la racine de cette équation 5+y. Comme on peut négliger les termes où y se trouve au second & au troisieme degré, il n’est pas nécessaire de les exprimer dans la transformation. On aura donc seulement

$\scriptstyle x^{3}=125+75y$

$\scriptstyle +2x^{2}=50+20y$

$\scriptstyle -23x=115-23y$

$\scriptstyle -70=-70.$

$\scriptstyle -10+72y=0.$

$\scriptstyle y=-{\frac {10}{72}}=0.1.$

Donc $\scriptstyle x=5+0.1=5.1.$

Soit derechef $\scriptstyle x=5.1+y$, on aura

$\scriptstyle x^{3}=132.651+73.030y$

$\scriptstyle +2x^{2}=52.020+20.400y$

$\scriptstyle -23x=-117.300-23.000y$

$\scriptstyle -70=-70.000.$

$\scriptstyle -2.629+75.430y=0$

$\scriptstyle 75.430y=2.629.$

$\scriptstyle y=2.629:75.430=0.0348.$

Donc $\scriptstyle x=5.1+0.0348=5.1348$, & ainsi de suite à l’infini. Il est évident que plus on réitérera l’opération, plus la valeur de x approchera de la valeur exacte de la racine de l’équation proposée.

Cette méthode pour approcher des racines des équations numériques, est dûe à M. Newton. Dans les Mém. de l’Acad. de 1744, on trouve un mémoire de M. le marquis de Courtivron, où il perfectionne & simplifie cette méthode. Dans les mêmes Mémoires, M. Nicole donne aussi une méthode pour approcher des racines des équations du troisieme degré dans le cas irréductible ; & M. Clairaut, dans ses Elémens d’Algebre, enseigne aussi une maniere d’approcher de la racine d’une équation du troisieme degré dans ce même cas. V. Cas irréductible du troisieme degré. (O)

* APPUI, soûtien, support : l’appui fortifie, le soûtien porte, le support aide ; l’appui est à côté, le soutien dessous, l’aide à l’un des bouts : une muraille est appuyée ; une voûte est soûtenue ; un toict est supporté : ce qui est violemment poussé a besoin d’appui ; ce qui est trop chargé a besoin de soûtien ; ce qui est très-long a besoin de support.

Au figuré, l’appui a plus de rapport à la force & à l’autorité ; le soûtien, au crédit & à l’habileté ; & le support, à l’affection & à l’amitié.

Il faut appuyer nos amis dans leurs prétensions, les soûtenir dans l’adversité, & les supporter dans leurs momens d’humeur.

Appui, ou point d’appui d’un levier, est le point fixe autour duquel le poids & la puissance sont en équilibre dans un levier : ainsi dans une balance or-