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NOTE I.

et la fraction, qui a pour numérateur $m$ et pour dénominateur $n$, par $$m\times {\frac {1}{n}}.$$ Telle est, en effet, la notation par laquelle on doit naturellement désigner la fraction dont il s’agit. Mais, comme on prouve aisément que le produit $$m\times {\frac {1}{n}}$$ est équivalent au quotient de $m$ par $n$, c’est-à-dire à ${\frac {m}{n}}$ il en résulte que la même fraction peut être représentée plus simplement par la notation $${\frac {m}{n}}.$$

Produits et quotients des quantités. — Le produit d’une première quantité par une seconde est une troisième quantité qui a pour valeur numérique le produit des valeurs numériques des deux autres, et pour signe le produit de leurs signes. Multiplier deux quantités l’une par l’autre, c’est former leur produit. L’une des deux quantités s’appelle multiplicateur, l’autre multiplicande, et toutes les deux conjointement facteurs du produit.

Ces définitions étant admises, on établira facilement la proposition suivante :

Théorème V. — Le produit de plusieurs quantités reste le même, dans quelque ordre qu’on les multiplie.

Pour démontrer cette proposition, il suffit de combiner la proposition semblable relative aux nombres avec le théorème III relatif aux signes (voir ci-dessus, page 335).

Diviser une première quantité par une seconde, c’est chercher une troisième quantité qui, multipliée par la seconde, reproduise la première. L’opération par laquelle on y parvient s’appelle division ; la première quantité dividende, la seconde diviseur, et le résultat de l’opération quotient. Quelquefois on désigne le quotient sous le nom de rapport ou raison géométrique des deux quantités données. En partant des définitions précédentes, on prouve facilement que le quotient de deux quantités a pour valeur numérique le quotient de leurs valeurs numériques, et pour signe le produit de leurs signes.