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Nous avons d’ailleurs, d’après la formule (13), § 19,

αε = αω^ε = ω^{α₀ + ε} = ω^ε = ε,

et par suite aussi

α₀ε = ε.

Enfin nous avons, d’après la formule (16), § 19,

α^ε = α^ωε = ω^α₀ωε = ω^α₀ε = ω^ε = ε.

H. Si α est un nombre quelconque de la deuxième classe, l’équation

α^ξ = ξ,

n’a pas d’autres racines que les nombres ε plus grands que α.

Démonstration. — Soit β une racine de l’équation

α^ξ = ξ,

on a

α^β = β,

et il en résulte immédiatement

β > α.

D’ailleurs β doit être de deuxième espèce, sinon

α^β > β.

Nous avons donc, d’après le théorème F, § 19,

α^β = ω^α₀β,

et par suite

ω^α₀β = β.

D’après le théorème F, § 19,

ω^α₀β ≥ α₀β ;