Démonstration. — La réunion de tous les nombres ε de la deuxième classe, rangés par ordre de grandeur, forme un ensemble bien ordonné (th. C, § 16) :
| (4) | ε0, ε1, ε2, …, εν, …, εω, εω + 1, …, εα′, … |
dont la loi de formation est exprimée par les théorèmes D et E.
Si l’indice α′ ne parcourait pas tous les nombres de la deuxième classe, il y aurait un nombre α qui serait le plus petit de tous les nombres qu’il n’atteint pas. Mais ceci contredit le théorème D, si α est de la première espèce et le théorème E, si α est de la deuxième espèce ; α′ prend donc toutes les valeurs du nombre de la deuxième classe.
Si nous désignons par Ω le type de la deuxième classe, le type de (4) est
puis comme ω + ω2 = ω2
L’on en déduit
G. Si ε est un nombre ε quelconque, et α un nombre arbitraire de la première ou de la deuxième classe, qui est plus petit que ε
ε vérifie les trois équations
Démonstration. — Si α0 est le degré de α, on a α0 ≤ α < ε. Mais le degré de ε = ωε est ε ; le degré de α est donc plus petit que le degré de ε. Il en résulte donc, d’après le théorème D, § 19,
et par suite aussi
