degré, coïncident donc avec les racines de l’équation (2). Nous nous proposons de déterminer l’ensemble de ces racines ; pour les séparer de tous les autres nombres, nous les nommerons les nombres ε de la deuxième classe.
L’existence de tels nombres ε résulte du théorème suivant :
A. Si γ est un nombre quelconque de la première ou de la deuxième classe, ne vérifiant pas l’équation (2), les équations
déterminent une série fondamentale {γν}. La limite E(γ) de cette série fondamentale est toujours un nombre ε.
Démonstration. — Puisque γ n’est pas un nombre ε, on a ωγ > γ, c’est-à-dire γ1 > γ. D’après le théorème B, § 18, on a aussi ωγ1 > ωγ, c’est-à-dire γ2 > γ1, et de la même manière γ3 > γ2, et ainsi de suite. La suite {γν} est donc une série fondamentale. Désignons par E(γ) sa limite, on a
E(γ) est donc un nombre ε. —
B. Le nombre ε0 = E(1) = lim. ων, où
est le plus petit de tous les nombres ε.
Soit ε′ un nombre α tel que
Comme ε′ est plus grand que ω, ωε′ est plus grand que ωω, c’est-à-dire ε′ > ω1. Il en résulte de même ωε′ > ωω1 ou ε′ > ω2, et ainsi de suite.
D’une façon générale on a
et il en résulte
