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On a d’une façon analogue

β₁ = β₂^ρ₂β₃,  β₂β₃ = β₃β₂,  β₃ < β₂,

et ainsi de suite.

La série des nombres décroissants β₁, β₂, β₃, … doit être limitée d’après le théorème B, § 16.

Il existe donc un nombre fini κ, tel que

β_{κ − 1} = β_κ^ρ_κ.

Si nous posons maintenant

β_κ = γ,

nous aurons

α = γ^μ,  β = γ,

où μ et ν sont le numérateur et le dénominateur de la fraction continue

μ/ν = ρ₀ + 1/ρ₁ + . . . . . 1/ρ_κ.

§ 20. — Les nombres ε de la deuxième classe numérique.

La forme normale du nombre α,

(1)

α = ωα0κ0 + ωα1κ1 + …, α0 > α1 > …, 0 < κ < ω,

nous montre immédiatement, eu égard au théorème F, § 18, que le degré α₀ de α n’est jamais supérieur à α. On peut se demander s’il n’y a pas des nombres α, pour lesquels α₀ = α.

Dans ce cas, la forme normale devrait évidemment se réduire au premier terme et même à ω^α ; α devrait donc être racine de l’équation

(2)

ωε = ε.

D’ailleurs toute racine de cette équation aurait la forme normale ω^α et par suite serait égale à son degré.

Les nombres de la deuxième classe, qui sont égaux à leur