On a d’une façon analogue
et ainsi de suite.
La série des nombres décroissants β1, β2, β3, … doit être limitée d’après le théorème B, § 16.
Il existe donc un nombre fini κ, tel que
Si nous posons maintenant
nous aurons
où μ et ν sont le numérateur et le dénominateur de la fraction continue
§ 20. — Les nombres ε de la deuxième classe numérique.
La forme normale du nombre α,
(1) | α = ωα0κ0 + ωα1κ1 + …, α0 > α1 > …, 0 < κ < ω, |
nous montre immédiatement, eu égard au théorème F, § 18, que le degré α0 de α n’est jamais supérieur à α. On peut se demander s’il n’y a pas des nombres α, pour lesquels α0 = α.
Dans ce cas, la forme normale devrait évidemment se réduire au premier terme et même à ωα ; α devrait donc être racine de l’équation
(2) | ωε = ε. |
D’ailleurs toute racine de cette équation aurait la forme normale ωα et par suite serait égale à son degré.
Les nombres de la deuxième classe, qui sont égaux à leur