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Entre α′ et β existe la relation
α′β = βα′.
Si α′ est aussi plus grand que β, on démontre de la même manière l’existence d’un nombre transfini de première espèce α″ < α′, tel que
α′ = βα″, α″β = βα″.
Dans le cas où α″ est encore plus grand que β, il existe un nombre α‴ < α″, tel que
α″ = βα‴, α‴β = βα‴,
et ainsi de suite.
La série des nombres décroissants α′, α″, α‴, …, doit être finie (th. B, § 16).
Donc, pour un indice fini déterminé ρ0, on a
α(ρ0) ≤ β.
Si
α(ρ0) = β,
il vient
α = βρ0 + 1, β = β ;
le théorème K est démontré, et l’on a
γ = β, μ = ρ0 + 1, ν = 1.
Mais si
α(ρ0) < β,
nous posons
α(ρ0) = β1
et nous obtenons
α = βρ0β1, ββ1 = β1β, β1 < β.
Par conséquent, il y a aussi un nombre fini ρ1, tel que
β = β1ρ1β2, β1β2 = β2β1, β2 < β1.
