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De l’hypothèse
α + β = β + α
nous concluons tout d’abord que les degrés α0 et β0 de α et β sont égaux. Car, si par exemple α0 était < β0, on aurait, d’après le théorème D,
α + β = β ;
donc aussi
β + α = β,
ce qui est impossible, puisque [(2), § 14]
β + α > β.
Nous pouvons donc poser
α = ωα0μ + α′, β = ωα0ν + β′,
où les nombres α′ et β′ sont de degré plus petit que α0, et μ et ν des nombres finis différents de 0.
D’après le théorème D, on a
α + β = ωα0(μ + ν) + β′, β + α = ωα0(μ + ν) + α′,
donc
ωα0(μ + ν) + β′ = ωα0(μ + ν) + α′
et par suite (théorème D, § 14)
β′ = α′.
Nous avons ainsi
α = ωα0μ + α′, β = ωα0ν + α′,
et si l’on pose
ωα0 + α′ = γ,
on a, d’après (11),
α = γμ, β = γν.
Supposons maintenant que les nombres α et β de la deuxième classe et de première espèce vérifient la relation
αβ = βα
