dite leur forme normale : α0 s’appelle le degré, ατ l’exposant de α ; pour τ = 0, le degré et l’exposant sont égaux.
Un nombre α est de la première ou de la deuxième espèce suivant que l’exposant ατ est égal ou supérieur à 0.
Considérons un autre nombre β écrit sous la forme normale
| (8) | β = ωβ0λ0 + ωβ1λ1 + … + ωβσλσ. |
Pour comparer α et β, et calculer leur somme et leur différence, nous emploierons les formules.
| (9) | ωα′κ′ + ωα′κ = ωα′(κ′ + κ) |
| (10) | ωα′κ′ + ωα″κ″ = ωα″κ″ α′ < α″ |
où κ, κ′, κ″ sont des nombres finis.
Ce sont des généralisations des formules (2) et (3), § 17.
Pour le calcul du produit αβ interviennent les formules
| (11) | αλ = ωα0κ0λ + ωα1κ1 + … + ωατκτ 0 < λ < ω ; |
| (12) | αω = ωα0 + 1 ; |
| (13) | αωβ′ = ωα0 + β′, β′ > 0. |
L’exponentiation est facile à effectuer grâce à la formule suivante :
| (14) | αλ = ωα0λκ0 + …, 0 < λ < ω. |
Les termes venant à la droite ont un degré moindre que celui du premier. Il en résulte que les séries fondamentales {αλ} et {ωα0λ} sont équivalentes, de sorte que
| (15) | αω = ωα0ω, α0 > 0, |
et par suite, en vertu du théorème E, § 18,
À l’aide de ces formules, on démontre facilement les théorèmes suivants :
