Si α′ est un nombre de la deuxième classe, on peut lui appliquer le théorème A, et nous avons
| (5) | α′ = ωα1κ1 + α″ |
et l’on a
En poursuivant, nous obtenons une suite de relations
| (6) | α″ = ωα2κ2 + α‴ ; |
| (7) | α‴ = ωα3κ3 + αIV. |
Mais cette suite ne peut être infinie et doit nécessairement s’arrêter.
Car les nombres α, α′, α″, … vont en décroissant.
Si une telle série de nombres transfinis était illimitée, aucun terme ne serait le plus petit, ce qui est impossible (théorème B, § 16). Il existe donc un certain nombre fini τ, tel que
Si nous réunissons les équations (3), (5), (6), (7), …, nous obtenons :
B. Tout nombre α de la deuxième classe peut être mis d’une seule façon sous la forme
où α0, α1, …, ατ sont des nombres de la première ou de la deuxième classe, qui vérifient les conditions
tandis que κ0, κ1, …, κτ sont des nombres différents de 0 de la première classe.
La forme donnée ici aux nombres de la deuxième classe est
