§ 19. — La forme normale des nombres de la deuxième classe.
Soit α un nombre quelconque de la deuxième classe. L’exponentielle ωξ deviendra, pour une valeur suffisamment grande de ξ, plus grande que α. D’après le théorème F, § 18, cela sera toujours pour ξ > α ; mais, en général, cela arrivera aussi pour des valeurs plus petites.
Le théorème B, § 16, nous apprend que parmi toutes les valeurs de ξ pour lesquelles
l’une est la plus petite, nous la nommons β et nous voyons facilement que ce n’est pas un nombre de la deuxième espèce. Car si
on aurait, puisque βν < β,
et par suite
c’est-à-dire
ce qui est contraire à l’hypothèse.
Ainsi β est de la première espèce. Nous désignerons β1 par α0, de sorte que β = α0 + 1 ; nous pouvons ainsi affirmer qu’il y a un nombre bien déterminé α0 de la première ou de la deuxième classe de nombres qui vérifie les deux conditions
(1) | ωα0 ≤ α, ωα0ω > α. |
De la deuxième condition, nous concluons que la relation