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§ 19. — La forme normale des nombres de la deuxième classe.

Soit α un nombre quelconque de la deuxième classe. L’exponentielle ω^ξ deviendra, pour une valeur suffisamment grande de ξ, plus grande que α. D’après le théorème F, § 18, cela sera toujours pour ξ > α ; mais, en général, cela arrivera aussi pour des valeurs plus petites.

Le théorème B, § 16, nous apprend que parmi toutes les valeurs de ξ pour lesquelles

ω^ξ > α

l’une est la plus petite, nous la nommons β et nous voyons facilement que ce n’est pas un nombre de la deuxième espèce. Car si

β = lim. β_ν,

on aurait, puisque β_ν < β,

ω^β_ν ≤ α

et par suite

lim. ω^β_ν ≤ α,

c’est-à-dire

ω^β ≤ α,

ce qui est contraire à l’hypothèse.

Ainsi β est de la première espèce. Nous désignerons β₁ par α₀, de sorte que β = α₀ + 1 ; nous pouvons ainsi affirmer qu’il y a un nombre bien déterminé α₀ de la première ou de la deuxième classe de nombres qui vérifie les deux conditions

(1)

ωα0 ≤ α,  ωα0ω > α.

De la deuxième condition, nous concluons que la relation

ω^α₀ν ≤ α