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et nous reconnaissons que φ(ξ) vérifie les quatre conditions suivantes :

1^o  φ(0) = γ^α ;

2^o  Si ξ′ < ξ″, on a φ(ξ′) < φ(ξ″) ;

3^o  Pour chaque valeur de ξ, φ(ξ + 1) = φ(ξ)γ ;

4^o  Si {ξ_ν} est une série fondamentale telle que lim. ξ_ν = ξ, on a :

φ(ξ) = lim. φ(ξ_ν).

Le théorème C, où l’on fait δ = γ^α, nous donne alors :

φ(ξ) = γ^αγ^ξ.

et en posant ξ = β

γ^{α + β} = γ^αγ^β.

E. Si α et β sont deux nombres arbitraires de la première et de la deuxième classe, y compris 0, on a :

γ^αβ = (γ^α)^β.

Démonstration. — Considérons la fonction ψ(ξ) = γ^αξ et remarquons que, d’après (24), § 14, on a toujours lim. αξ_ν = α lim. ξ_ν ; nous pouvons alors, en vertu du théorème D, affirmer ce qui suit :

1^o  ψ(0) = 1 ;

2^o  Si ξ′ < ξ″, on a ψ(ξ′) < ψ(ξ″) ;

3^o  Pour chaque valeur de ξ, ψ(ξ + 1) = ψ(ξ)γ ;

4^o  Si {ξ_ν} est une série fondamentale définissant lim. ξ_ν = ξ, {ψ(ξ_ν)} en est une aussi et

ψ(ξ) = lim. ψ(ξ_ν).

On a donc, d’après le théorème C, où l’on remplace δ par 1 et γ par γ^α :

ψ(ξ) = (γ^α)^ξ. —

La comparaison de γ^ξ et de ξ nous donne le théorème suivant :

F. Si γ est > 1, on a, pour toutes les valeurs de ξ,

γ^ξ ≥ ξ.