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M lui-même, ni avec une partie de M, il y a une partie N₁ de N qui est équivalente à M.

E. — Si deux ensembles M et N ne sont pas équivalents et s’il y a une partie N₁ de N équivalente à M, il n’y a aucune partie de M équivalente à N.

§ 3. — L’addition et la multiplication des puissances.

La réunion de deux ensembles M et N qui n’ont aucun élément commun a été représentée par (M, N) [§ 1, (2)]. Nous nommons ce nouvel ensemble l’ensemble-somme (Vereinigungsmenge) de M et de N.

Si M′, N′ sont deux autres ensembles sans éléments communs et si M ∼ M′, N ∼ N′, nous avons vu que

(M, N) ∼ (M′, N′).

Il en résulte que le nombre cardinal de (M, N) ne dépend que des nombres cardinaux M = a et N = b.

Ceci nous conduit à la définition de la somme de a et b lorsque nous posons

(1)

a + b = (M, N).

Puisque dans la notion de puissance, il est fait abstraction de l’ordre des éléments, nous avons

(2)

a + b = b + a

et pour 3 nombres cardinaux a, b et c

(3)

a + (b + c) = (a + b) + c.

Arrivons à la multiplication.

La réunion d’un élément m d’un ensemble M et d’un élément n d’un autre ensemble N forme un nouvel élément (m, n). Nous désignerons par la notation (M × N) l’ensemble formé de tous les éléments (m, n) et nous l’appellerons