valable pour ξ < α et non pour ξ ≤ α, ce qui est en contradiction avec ce qui vient d’être démontré.
Il y a donc, pour tout le domaine de ξ, une et une seule fonction f(ξ) qui vérifie les conditions 1o, 2o, 3o et 4o.
Si l’on donne à la constante δ la valeur 1 et si l’on désigne la fonction f(ξ) par
on peut énoncer le théorème suivant :
B. Si γ est une constante arbitraire > 1, appartenant à la première ou à la deuxième classe, il y a une fonction bien déterminée γξ de ξ telle que :
1o γ0 = 1.
2o Si ξ′ < ξ″, on a γξ′ < γξ″.
3o Pour chaque valeur de ξ, γξ + 1 = γξγ.
4o Si {ξν} est une série fondamentale quelconque, {γξν} en est une autre et la condition ξ = lim. ξν entraîne :
Mais nous pouvons énoncer le théorème suivant :
C. f(ξ) étant la fonction caractérisée au théorème A, on a
Démonstration. — La formule (24), § 14, montre que la fonction δγξ vérifie non seulement les conditions 1o, 2o, 3o du théorème A, mais aussi la condition 4o. Puisque la fonction f(ξ) est unique, elle doit être identique à δγξ.
D. Si α et β sont deux nombres arbitraires de la première et de la deuxième classe, y compris 0, on a :
Démonstration. — Considérons la fonction φ(ξ) = γα + ξ.
La formule (23), § 14, nous montre que
