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et par suite
(7) | φωλ = ωμ + λ. |
La loi distributive [(8), § 14] nous donne :
φψ = φωλρ0 + φωλ − 1ρ1 + … + φωρλ − 1 + φρλ
et les formules (4), (5) et (7) nous conduisent aux résultats suivants :
1o Si ρλ = 0, on a :
φψ = ωμ + λρ0 + ωμ + λ − 1ρ1 + … + ωμ + 1ρλ − 1 = ωμψ.
2o Si ρλ ≠ 0, on a :
φψ = ωμ + λρ0 + ωμ + λ − 1ρ1 + … + ωμ + 1ρλ − 1
+ ωμν0ρλ + ωμ − 1ν1 + … + νμ.
+ ωμν0ρλ + ωμ − 1ν1 + … + νμ.
Nous arrivons de la manière suivante à une décomposition remarquable du nombre φ ; soit
(8) | φ = ωμκ0 + ωμ1κ1 + … + ωμτκτ |
où
μ > μ1 > μ2 … μτ ≥ 0
et κ0, κ1, …, κτ des nombres finis différents de 0. Nous avons alors
φ = (ωμ1κ1 + ωμ2κ2 + … + ωμτκτ)(ωμ − μ1κ0 + 1)
et, par application répétée de cette formule, nous obtenons
φ = ωμτκτ(ωμτ − 1 − μτκτ − 1 + 1)(ωμτ − 2 − μτ − 1κτ − 2 + 1)…(ωμ − μ1κ0 + 1)
Mais on a :
ωλκ + 1 = (ωλ + 1)κ
dans le cas où κ est un nombre fini différent de 0 ; donc
(9) | φ = ωμτκτ(ωμτ − 1 − μτ + 1)κτ − 1(ωμτ − 2 − μτ − 1 + 1)κτ − 2…(ωμ − μ1 + 1)κ0. |