Page:Cantor - Sur les fondements de la théorie des ensembles transfinis, trad. Marotte, 1899.djvu/76

Le texte de cette page a été corrigé et est conforme au fac-similé.

et par suite

(7) φωλ = ωμ + λ.

La loi distributive [(8), § 14] nous donne :

φψ = φωλρ0 + φωλ − 1ρ1 + … + φωρλ − 1 + φρλ

et les formules (4), (5) et (7) nous conduisent aux résultats suivants :

1o Si ρλ = 0, on a :

φψ = ωμ + λρ0 + ωμ + λ − 1ρ1 + … + ωμ + 1ρλ − 1 = ωμψ.

2o Si ρλ ≠ 0, on a :

φψ = ωμ + λρ0 + ωμ + λ − 1ρ1 + … + ωμ + 1ρλ − 1
+ ωμν0ρλ + ωμ − 1ν1 + … + νμ.

Nous arrivons de la manière suivante à une décomposition remarquable du nombre φ ; soit

(8) φ = ωμκ0 + ωμ1κ1 + … + ωμτκτ

μ > μ1 > μ2 … μτ ≥ 0

et κ0, κ1, …, κτ des nombres finis différents de 0. Nous avons alors

φ = (ωμ1κ1 + ωμ2κ2 + … + ωμτκτ)μ − μ1κ0 + 1)

et, par application répétée de cette formule, nous obtenons

φ = ωμτκτμτ − 1 − μτκτ − 1 + 1)μτ − 2 − μτ − 1κτ − 2 + 1)…(ωμ − μ1κ0 + 1)

Mais on a :

ωλκ + 1 = (ωλ + 1)κ

dans le cas où κ est un nombre fini différent de 0 ; donc

(9) φ = ωμτκτμτ − 1 − μτ + 1)κτ − 1μτ − 2 − μτ − 1 + 1)κτ − 2μ − μ1 + 1)κ0.