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Si μ et λ sont égaux, ν₀ et ρ₀ différents et, par exemple, ν₀ < ρ₀, nous avons, d’après (2),

φ + [ω^λ(ρ₀ − ν₀) + ω^{λ − 1}ρ₁ + … + ρ_λ] = ψ ;

donc aussi

φ < ψ.

Si enfin

μ = λ  ν₀ = ρ₀  ν₁ = ρ₁ … ν_{σ − 1} = ρ_{σ − 1}  σ ≤ μ.

et, par contre, ν_σ et ρ_σ différents, et par exemple ν_σ < ρ_σ, on a, d’après (2),

φ + [ω^{λ − σ}(ρ₀ − ν₀) + ω^{λ − σ − 1}ρ_{σ + 1} + … + ρ_λ] = ψ ;

donc de nouveau

φ < ψ.

Nous voyons ainsi que les nombres représentés par φ et ψ ne peuvent être égaux que dans le cas de l’identité complète des expressions φ et ψ.

L’addition de φ et ψ conduit aux résultats suivants :

1^o  Si μ < λ, on a vu plus haut que

φ + ψ = ψ.

2^o  Si μ = λ, on a :

φ + ψ = ω^λ(ν₀ + ρ₀) + ω^{λ − 1}ρ₁ + … + ρ_λ.

3^o  Si μ > λ, on a :

φ + ψ = ω^μν₀ + ω^{μ − 1}ν₁ + … + ω^{λ + 1}ν_{μ − λ − 1} + ω^λ(ν_{μ − λ} + ρ₀) + ω^{λ − 1}ρ₁ + … + ρ_λ.

Pour effectuer le produit de φ et de ψ, nous remarquons que si ρ est un nombre fini différent de 0, on a la formule :

(5)

φ.ρ = ωμν0ρ + ωμ − 1ν1 + … + νμ,

qui s’obtient facilement en effectuant la somme des ρ termes

φ + φ + … + φ.

Par application répétée du théorème G, § 15, on obtient de plus, en tenant compte de F, § 15 :

(6)

φω = ωμ + 1