E. Un ensemble arbitraire {β} de nombres différents de la deuxième classe a, s’il est infini, ou le nombre cardinal ℵ0, ou le nombre cardinal {α} de la deuxième classe.
Démonstration. — L’ensemble {β}, où les éléments sont rangés par ordre de grandeur croissante, est une partie de l’ensemble bien ordonné {α} et comme tel (th. O, § 13), il est ou semblable à un segment Aα0 de ce dernier (c’est-à-dire à l’ensemble de tous les nombres de la deuxième classe < α0, rangés par ordre de grandeur croissante) ou semblable à l’ensemble {α} lui-même.
Nous avons montré dans la démonstration du théorème A que Aα0 = α0 − ω. Nous avons donc ou {β} = α0 − ω ou {β} = {α} et, par suite, ou {β} = α0 − ω ou {β} = {α}. Mais α0 − ω est égal à un nombre cardinal fini ou à ℵ0 (th. I, § 15) ; le premier cas est exclu ici puisque {β} est un ensemble infini. Par suite, le nombre cardinal {β} est égal à ℵ0 ou à {α}.
F. La puissance de la deuxième classe numérique {α} est le deuxième nombre cardinal transfini alef-un.
Démonstration. — Il n’y a aucun nombre cardinal a qui soit > ℵ0 et < {α}, car il devrait y avoir une partie infinie {β} de {α} telle que {β} = a.
Mais par suite du théorème précédemment démontré E, la partie {β} a le nombre cardinal ℵ0 ou le nombre cardinal {α}. Ce dernier nombre est donc nécessairement le nombre cardinal immédiatement supérieur à ℵ0 ; nous le nommerons ℵ1.
Nous avons donc, dans la deuxième classe numérique, le représentant naturel du deuxième nombre cardinal transfini alef-un.
§ 17. — Les nombres de la forme ωμν0 + ωμ − 1ν1 + … + νμ.
Il est utile de se familiariser avec les nombres de Z(ℵ0), qui sont des fonctions algébriques de degré fini de ω. Tout nombre
