Nous allons maintenant montrer que la puissance de la deuxième classe est différente de celle de la première, qui est ℵ0.
D. La puissance de l’ensemble {α} de tous les nombres α de la deuxième classe n’est pas égale à ℵ0.
Démonstration. — Si {α} était égal à ℵ0, on pourrait mettre l’ensemble {α} sous la forme d’une série simplement infinie
de sorte que {γν} représenterait la réunion de tous les nombres de la deuxième classe rangés dans un ordre différent de l’ordre de grandeur croissante ; de plus, {γν} comme {α} ne contient pas de nombre supérieur à tous les autres.
Partons de γ1 et soit γρ2 le terme de plus petit indice de la série qui soit plus grand que γ1, γρ3 le terme de plus petit indice plus grand que γρ2, et ainsi de suite. Nous obtenons une suite infinie de nombres croissants
telle que
D’après le théorème C, § 15 il y aurait un nombre déterminé δ de la deuxième classe, savoir
qui serait plus grand que tous les γρν ; par suite δ serait plus grand que γν pour toute valeur de ν.
Mais puisque {γν} contient tous les nombres de la deuxième classe, il contient aussi δ et l’on aurait
équation qui est incompatible avec δ > γν0.
L’hypothèse {α} = ℵ0, conduit ainsi à une contradiction.
