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A. L’ensemble {α} de tous les nombres de la deuxième classe, rangés par ordre de grandeur croissante, est un ensemble bien ordonné.

Démonstration. — Désignons par A_α la réunion de tous les nombres de la deuxième classe, qui sont plus petits qu’un nombre donné α, ces nombres étant rangés par ordre de grandeur croissante ; A_α est un ensemble bien ordonné de type α − ω. Ceci résulte du théorème H, § 14. L’ensemble désigné là par {α′}, de tous les nombres α′ de la première et de la deuxième classe est composé de {ν} et de A_α, de sorte que

{α′} = ({ν}, A_α) ;

{α′} = {ν} + A_α

et comme

{α′} = α  {ν} = ω,

on a

A_α = α − ω.

Soit J une partie quelconque de {α}, telles qu’il y ait dans {α} des nombres plus grands que tous les nombres de J. Soit par exemple α₀ un de ces nombres. J est aussi une partie de A_{α0 + 1} telle qu’au moins le nombre α₀ de A_{α0 + 1} est plus grand que tous les nombres de J. Comme A_{α0 + 1} est un ensemble bien ordonné, il doit exister (§ 12) un nombre α′ de A_{α0 + 1}, appartenant donc aussi à {α}, qui va immédiatement après tous les nombres de J. La condition II, § 12, est donc remplie pour {α}, et la condition I aussi, puisque {α} a le nombre initial ω. —

Si l’on applique à l’ensemble bien ordonné {α} les théorèmes A et C, § 12, on obtient les théorèmes suivants :

B. Tout ensemble de nombres différents des première et deuxième classes a un nombre plus petit, un minimum.

C. Tout ensemble de nombres différents des première et deuxième classes, rangés par ordre de grandeur, forme un ensemble bien ordonné.

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