ordinal plus petit que α, il y a (§ 14) un segment déterminé A′ de F, tel que
et réciproquement chaque segment A′ a comme type un nombre α′ < α de la première ou de la deuxième classe ; car puisque F = ℵ0, A′ ne peut être qu’un nombre cardinal fini ou ℵ0.
Le segment A′ est déterminé par un élément f′ ≻ f1 de F et réciproquement chaque élément f′ ≻ f1 de F détermine un segment A′ de F. Si les deux éléments f′ et f″ ≻ f1 déterminent dans F les segments A′ et A″ dont les types ordinaux sont α′ et α″, la condition f′ ≺ f″ entraîne (§ 13) A′ < A″ et par suite α′ < α″.
Si donc nous posons F = (f1, F′) et si nous faisons correspondre à l’élément f′ de F′ l’élément α′ de {α′}, nous obtenons une application de ces deux ensembles. Donc
Mais maintenant F′ = α − 1, et d’après le théorème E, α − 1 = α. Donc
Comme α = ℵ0, il en résulte {α′} = ℵ0, ce qui s’énonce :
I. L’ensemble {α′} de tous les nombres α′ de la première et de la deuxième classe qui sont plus petits qu’un nombre α de la deuxième classe a le nombre cardinal ℵ0.
K. Tout nombre α de la deuxième classe numérique peut s’obtenir ou en ajoutant 1 à un nombre immédiatement inférieur α1
ou en cherchant la limite d’une série fondamentale {αν} de nombres de la première ou de la deuxième classe
