partir d’un certain nombre ν, α′ν serait donc plus grand que β (§ 14) et par suite, à partir d’un certain nombre μ, αμ serait plus grand que β (11). Mais ceci est impossible, puisque β = lim. aν et que l’on a, pour toutes les valeurs de μ, αμ < β.
Réciproquement, si l’on suppose que β = γ, αν est constamment plus petit que γ et, par suite, à partir d’un certain nombre λ, α′λ > αν ; de même, puisque α′ν < β, à partir d’un certain nombre μ, αμ sera plus grand que α′ν ; donc {aν} ǁ {a′ν}.
E. Si α est un nombre quelconque de la deuxième classe numérique, ν0 un nombre ordinal fini quelconque, on a : ν0 + α = α et par suite α − ν0 = α.
Démonstration. — Examinons d’abord le cas où α = ω. Soit.
Mais si α > ω, nous avons
F. Si ν0 est un nombre ordinal fini quelconque, ν0.ω = ω.
Démonstration. — Pour obtenir un ensemble de type ν0ω, il faut remplacer les éléments fν de l’ensemble (f1, f2, …, fν, …) par des ensembles (gν1, gν2, …, gνν0) de type ν0. On obtient ainsi l’ensemble
qui est évidemment semblable à l’ensemble {fν}, donc
On peut aussi le démontrer brièvement comme il suit : on a ω = lim. ν et par suite, d’après (24), § 14,
