entraîne, d’après le théorème H,
et par suite
L. Si chaque segment A d’un ensemble bien ordonné F est semblable à un segment déterminé B d’un ensemble bien ordonné G, et si, au contraire, il y a au moins un segment de G qui ne soit semblable à aucun segment de F, il existe un segment déterminé B1 de G, tel que B1 ≃ F.
Démonstration. — Considérons l’ensemble de tous les segments de G qui ne sont semblables à aucun segment de F ; parmi eux il doit y en avoir un plus petit que tous les autres que nous nommons B1. Ceci résulte de ce que, d’après le théorème A, § 12, l’ensemble des éléments qui déterminent tous ces segments, possède un élément de rang le plus bas ; le segment B1 de G qu’il détermine, est plus petit que tous les autres. D’après le théorème I, chaque segment de G qui est > B1, n’admet dans F aucun segment semblable ; par suite, tous les segments B de G, qui ont dans F des segments semblables, sont tous plus petits que B1 et de même à tout segment B < B1 correspond un segment semblable A de F, puisque B1 est le plus petit segment de G qui n’est semblable à aucun segment de F.
Ainsi tout segment A de F est semblable à un segment B de B1 et tout segment B de B1 à un segment A de F ; d’après le théorème K, on a donc
M. Si l’un au moins des segments de l’ensemble bien ordonné G, n’est semblable à aucun segment de l’ensemble bien ordonné F, tout segment A de F est semblable à un segment B de G.
Démonstration. — Soit B1 le plus petit segment de G auquel ne correspond aucun segment semblable dans F. (Voir la
