La démonstration résulte du théorème A appliqué aux deux ensembles semblables A et B.
H. Si A et A′ sont deux segments d’un ensemble bien ordonné F, et B et B′ les segments à eux semblables d’un ensemble bien ordonné G, la condition A′ < A entraîne B′ < B.
La démonstration résulte des théorèmes F et G.
L. Si un segment B d’un ensemble bien ordonné G n’est semblable à aucun segment d’un ensemble bien ordonné F, il en est de même pour tout segment B′ > B de G et pour G lui-même.
La démonstration résulte du théorème G.
K. Si chaque segment A d’un ensemble bien ordonné F est semblable à un segment déterminé B de l’ensemble bien ordonné G, et si chaque segment B de G est semblable à un segment A de F, les deux ensembles F et G sont semblables (F ≃ G).
Démonstration. — Nous pouvons appliquer F et G l’un sur l’autre d’après la loi suivante :
L’élément initial f1 de F correspondra à l’élément initial g1 de G. Un autre élément f ≻ f1 détermine un segment A de F, auquel correspond par hypothèse un segment semblable unique B de G ; l’élément g de G qui détermine le segment B sera l’image de f. De même un élément g ≻ g1 détermine dans G un segment B, auquel correspond par hypothèse un segment semblable unique A de F ; l’élément f de F, qui détermine le segment A sera l’image de g.
Il est facile de voir que la correspondance biuniforme de F et G, définie de cette manière, est une application au sens du § 7.
Si f et f′ sont deux éléments arbitraires de F, g et g′ les éléments qui leur correspondent dans G, A, A′, B et B′ les segments déterminés respectivement par f, f′, g, g′, la condition
