Dans la suite infinie des éléments qui déterminent ces segments
aucun élément n’aurait le rang le plus bas, ce qui est impossible d’après le théorème A, § 12. Il n’y a donc aucune partie F′ d’un segment A de F, telle que F′ ≃ F.
D. Deux segments différents A et A′ d’un ensemble bien ordonné F ne sont jamais semblables.
Démonstration. — Si A′ < A, A′ est un segment de l’ensemble bien ordonné A, et par suite ne peut lui être semblable (théorème B).
E. Deux ensembles bien ordonnés semblables F et G ne sont applicables l’un sur l’autre que d’une seule manière.
Démonstration. — Supposons qu’il y ait deux applications différentes de F sur G, et soit f un élément de F, à qui correspondraient, par les deux applications, des images g et g′ différentes dans G. Soient A le segment de F déterminé par f, B et B′ les segments de G déterminés par g et g′. Le théorème A prouve que
donc on aurait aussi B ≃ B′, ce qui est contraire au théorème D.
F. Si F et G sont deux ensembles bien ordonnés, un segment A de F ne peut avoir plus d’un segment B à lui semblable dans G.
Démonstration. — S’il y avait dans G deux segments B et B′ semblables au segment A de F, les segments B et B′ seraient aussi semblables, ce qui est contraire au théorème D.
G. Si A et B sont deux segments semblables de deux ensembles bien ordonnés F et G, tout segment A′ de F plus petit que A (A′ < A) est semblable à un segment B′ de G plus petit que B (B′ < B), et inversement.
