formerait une partie de F où aucun élément n’aurait le rang le plus bas.
Mais, d’après le théorème A, § 12, de telles parties de F ne peuvent exister. L’hypothèse d’une application de F sur l’un de ses segments conduit donc à une contradiction, et par suite l’ensemble F n’est semblable à aucun de ses segments.
Mais si, d’après le théorème B, un ensemble bien ordonné n’est semblable à aucun de ses segments, il y a toujours, si F est infini, d’autres parties de F qui lui sont semblables. Par exemple, l’ensemble
est semblable à l’un quelconque de ses restes
Il est d’ailleurs remarquable que nous puissions adjoindre à la proposition B la suivante :
C. Un ensemble bien ordonné F n’est semblable à aucune partie de l’un quelconque de ses segments A.
Démonstration. — Supposons que F′ soit une partie d’un segment A de F, et que F′ ≃ F. Considérons une application de F sur F′ ; d’après le théorème A, le segment A de F aura pour image un segment F″ de l’ensemble bien ordonné F′ ; ce segment serait déterminé par l’élément f′ de F′. Mais f′ est aussi élément de A et détermine un segment A′ de A, dont F″ est une partie.
L’hypothèse de l’existence d’une partie F′ d’un segment A de F, telle que F′ ≃ F, nous permet donc de construire une partie F″ d’un segment A′ de A, telle que F″ ≃ A.
Ce procédé de déduction nous donne ensuite une partie F‴ d’un segment A″ de A′, telle que F‴ ≃ A′. Nous obtenons ainsi, en poursuivant, comme dans la démonstration du théorème B, une série nécessairement infinie de segments de F devenant de plus en plus petits
